楕円：ｘ^2／ａ^2＋ｙ^2／ｂ^2＝１　　（ａ＞ｂ）において，

［１］点（ａ，０）で内接する円の半径ｒ

［２］点（０，ｂ）で外接する円の半径Ｒを求めよ．

　　［参］土倉保「算法助術」朝倉書店

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　曲率円の問題であるが，曲率の公式を知らなくても求めることができる．

［２］の場合だけであるが，

　　楕円：ｂ^2ｘ^2＋ａ^2ｙ^2＝ａ^2ｂ^2

　　円：ｘ^2＋（ｙ＋Ｒ−ｂ）^2＝Ｒ^2

が接するためには，判別式＝０とおいて，

　　ｂ^2Ｒ^2−２ａ^2ｂＲ＋ｘａ^4＝０→Ｒ＝ａ^2／ｂ

［１］ｒ＝ｂ^2／ａとなる．

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　一般に，長軸上に中心をもつ内接円の中心と半径との関係は

　　楕円：ｂ^2ｘ^2＋ａ^2ｙ^2＝ａ^2ｂ^2

　　円：（ｘ−ｃ）^2＋ｙ^2＝ｒ^2

　判別式＝０より，

　　ｃ^2＝（ａ^2−ｂ^2）（ｂ^2−ｒ^2）／ｂ^2

となる．ｃ＝０のときｒ＝ｂとなるが，これは曲率円ではない．

　　ｒ＝ｂ^2／ａのとき，

　　ｃ^2＝（ａ^2−ｂ^2）（１−ｂ^2／ａ^2）＝（ａ^2−ｂ^2）^2／ａ^2

　　ｃ＝（ａ^2−ｂ^2）／ａ

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　　楕円：ｘ^2／ａ^2＋ｙ^2／ｂ^2＝１

　　円：ｘ^2＋ｙ^2＝ｂ^2

の間に，点（ａ，０）で曲率円が内接しているとき，

　　ａ＝ｂ＋２ｂ^2／ａとなる．

が成り立つ．

　　ａ^2−ａｂ−２ｂ^2＝０

ｘ＝ａ／ｂとおくと，

　　ｘ^2−ｘ−２＝０→ｘ＝２

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