すべての面が正三角形で構成されている立体をデルタ多面体（正三角面体）といいます．結論を先にいうと，正３角形ばかりを集めると４面体から２０面体まで，１８面体以外の８種類すべての偶数多面体ができあがります．そのうち，正４面体，正８面体，正２０面体は正多面体にも分類されるのですが，デルタ多面体はそれらを含めて全部で８種類あることがわかりました．
正多面体でない５個のうち，２個は重角錐（ｆ＝６，ｆ＝１０）ですが，三角柱の正方形面に四角錐を貼り付けたもの（ｆ＝１４），正方反角柱の正方形面に四角を貼り付けたもの（ｆ＝１６），コクセターにより双子の１２面体，ジョンソンにより歪両楔体と呼ばれるもの（ｆ＝１２）があります．
逆にいうと，もし多面体の各面が正三角形ならば８つの多面体の中のどれかひとつであるということになります．同様に，正方形１種類では立方体のみ，正５角形１種類では正１２面体のみが得られ，正６角形以上の正多角形ばかりでは凸多面体はできません．結局，１種類の正多角形でできる凸多面体は合計１０種類あることになります．
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【１】オイラーの定理（デルタ多面体の必要条件）
３次元凸多面体の頂点，辺，面の数をそれぞれｖ，ｅ，ｆとすると，
ｖ−ｅ＋ｆ＝２ （オイラーの多面体定理）
が成り立ちます．これは３次元立体について，０次元の特性数であるｖ，１次元の特性数であるｅ，２次元の特性数であるｆの関係を述べたものと解釈され，最も美しい数学の１０大定理の１つに挙げられるものです．
また，正則な多面体とはその面が正多角形で，どの面にも同じ数の面が集まっている凸多面体のことで，正多面体では
ｐｆ＝２ｅ，ｑｖ＝２ｅ
でしたが，正則とは限らない一般の多面体では
Σｐi＝ｐ1＋・・・＋ｐf＝２ｅ，
Σｑi＝ｑ1＋・・・＋ｑv＝２ｅ
となります．
ｐi＝３，３≦ｑi≦５ですから
３ｆ＝２ｅ （ｆは偶数）
３ｖ≦２ｅ≦５ｖ
これをオイラーの多面体定理
ｖ−ｅ＋ｆ＝２
に代入すると
６≦ｅ≦３０
これより
４≦ｆ≦２０，（３≦ｖ≦２０）
が得られます．３ｆ＝２ｅよりｆは偶数ですから，４面体から２０面体までの偶数多面体がデルタ多面体の候補となります．
ｆ ｅ ｖ
４ ６ ４
６ ９ ５
８ １２ ６
１０ １５ ７
１２ １８ ８
１４ ２１ ９
１６ ２４ １０
１８ ２７ １１
２０ ３０ １２
３次元では，オイラーの多面体公式
ｖ−ｅ＋ｆ＝２
以外に
ｆ≦２ｖ−４，ｖ≦２ｆ−４
を満たせばよいことが証明されています（シュタイニッツ，１９０６年）．デルタ多面体では，これ以上面数ｆを大きくできないという
ｆ≦２ｖ−４
の上限に達していることも理解されます．
なお，これらの式の頂点ｖと面ｆの対称性により，ｆ面凸多面体とｖ点凸多面体は同数になるのですが，「４面体は４つの頂点と４つの面から構成されるので，頂点数を加えていうと，４点４面体である．５面体には４角錐（５点５面体）と３角柱（６点５面体）がある．６面体には５点６面体が１種類，６点６面体，７点６面体，８点６面体が２種類ずつの合計７種類ある．以下，７面体には３４種類，８面体には２５７種類，９面体には２６０６種類ある．
見方を変えて，凸多面体を頂点数で分類すると，４点多面体は１種類，５点多面体は２種類，６点多面体は７種類，７点多面体は３４種類，８点多面体は２５７種類，９点多面体は２６０６種類，１０点多面体は３２３００種類ある．」・・・両者で同じ数値が出現していることに気づかれたかと思います．
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【２】デカルトの定理（デルタ多面体の必要条件）
凸多面体の頂点で，そこに集まる面角の和は２πより小さくならなければなりません．その不足量を
δ＝２π−Σ（面角）
とすると，不足量の和は４πに等しいというのが，デカルトの定理です．
Σδ＝４π
（証）ｎ辺をもつ面の数をｆnとおく．ｆ＝Σｆn，ｅ＝1/2Σｎｆn．また，ｎ辺形の面角の和は（ｎ−２）πであるから，
Σδ＝２πｖ−Σ（ｎ−２）πｆn
＝２πｖ−πΣｎｆn＋２πΣｆn
＝２π（ｖ−ｅ＋ｆ）＝４π
デルタ多面体では各頂点に３，４，５個の正三角形が集まるので，その頂点での不足量はπ，２π／３，π／３のいずれかになる．頂点にｎ個の正三角形が集まる頂点をｖnとし，
ａ＝Σｖ3，ｂ＝Σｖ4，ｃ＝Σｖ5
とおくと
πａ＋２πｂ／３＋πｃ／３＝４π
ａ＋２ｂ／３＋ｃ／３＝４
となる．
すべての可能な整数解（ａ，ｂ，ｃ）のリストは，
ａ ｂ ｃ （ｖ，ｅ，ｆ）
４ ０ ０ ○ （４，６，４）
３ １ １ ×
３ ０ ３ ×
２ ３ ０ ○ （５，９，６）
２ ２ ２ ×
２ １ ４ ×
２ ０ ６ ×
１ ４ １ ×
１ ３ ３ ×
１ ２ ５ ×
１ １ ７ ×
１ ０ ９ ×
０ ６ ０ ○ （６，１２，８）
０ ５ ２ ○ （７，１５，１０）
０ ４ ４ ○ （８，１８，１２）
０ ３ ６ ○ （９，２１，１４）
０ ２ ８ ○ （１０，２４，１６）
０ １ １０ ×
０ ０ １２ ○ （１２，３０，２０）
であるが，ｖ3とｖ5は隣接しないことよりａ＞０→ａ＋ｂ≧４，ｃ＞０→ｂ＋ｃ≧６，ａ＝１は不可能であること，（ａ，ｂ，ｃ）＝（０，１，１０）は不可能であることより，不可能なケースを除外することができる．
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【３】デルタ多面体の構成（十分条件）
デルタ多面体の必要条件はわかりましたが，十分条件を得るには実際に構成してみることになります．正４面体は正三角形の上の単角錐，正８面体は正方形の上の重角錐です．
また，アルキメデスの正角柱（上下の底面が正多角形で，側面がすべて正方形であるもの）を少しひねって，側面をすべて正三角形にしたものをアルキメデスの反角柱と呼びます．正２０面体は側面が１０個の正三角形からなる五角反柱の上下の面に正五角錐をつけると構成することができます．
デルタ４面体，デルタ１０面体はそれぞれ正三角形の上の重角錐，正五角形の上の重角錐としてできあがります．
重角錐として構成できるのはここまでで，デルタ１２面体からは角錐の間に正三角形からなる帯をつけて，角錐の傘で上下からフタをすることになります．まず最初に，６個の正三角形からなる三角反柱の帯を作ってみたところ，これは正八面体となるのですが，そこの上下に正三角形のフタをすると正八面体そのものです．そこで，三角反柱の帯に正三角錐でフタをすると，正八面体と正四面体の二面角は互いに補角ですから平行六面体となってしまいます．これは空間充填形となるのですが，デルタ多面体とはなりません．
次に，８個の正三角形からなる四角反柱の帯を作ってみました．この場合，上下のフタとしては正二角錐（２個の正三角形を辺同士で繋いだものをこう呼ぶことにする）と正四角錐が可能になるのですが，「ポリドロン」では四角反柱の帯が剛性体ではなく変形可能で，これらのいずれも上下の面にうまくはめ込むことができました．正二角錐２個をはめ込むとデルタ１２面体，正二角錐と正四角錐ではデルタ１４面体，正四角錐２個をはめ込むとデルタ１６面体となります．
このうち，デルタ１４面体は側面が正方形の正三角柱（アルキメデスの正角柱）の側面に正四角錐３個をはめ込んだ立体とみることもできて，きれいな対称性を示しています．
次に１０個の正三角形からなる五角反柱の帯ということになるのですが，この場合，正五角錐のフタだけが可能になって，正二十面体ができ上がります．
最後に，ポリドロンによるｆ＝１８の模型を掲げますが，凸体に近いものの凸でない多面体ができあがりました．同じｆ＝１８を２つの方向から見た図を掲げます．
こうしてデルタ１８面体は構成不可能であることがわかりましたが，十分条件を満たさないことを直接幾何学的に証明できるかどうかまではわかりませんでした．
結論をまとめますと，デルタ多面体（正三角面体）は正４面体，正８面体，正２０面体も含めて全部で８種類あります．面数の少ない順に並べると４，６，８，１０，１２，１４，１６，２０面体で，デルタ１８面体は存在しません．
ｆ ｅ ｖ
４ ６ ４ ○
６ ９ ５ ○
８ １２ ６ ○
１０ １５ ７ ○
１２ １８ ８ ○
１４ ２１ ９ ○
１６ ２４ １０ ○
１８ ２７ １１ ×
２０ ３０ １２ ○
１９４２年，フロイデンタールによってこのことが証明されたとあるのですが，ｆ＝１８（ｖ＝１１）が十分条件を満たさないことはどのようにして証明されるのでしょうか？
この点について一松信先生にうかがったのですが，この証明は殊の外厄介ということでした．それは凸多面体という条件がつくためなのですが，結局は頂点数１１の形を分類してどのような組でも凸体にならないことを確かめるという手間を要します．ｆ＝１８の不可能性の証明は端的にいって「あらゆる可能性を調べて凸体にならない」ことを示すような厄介な話でなのです．
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