正二十面体をイメージして下さい．正二十面体（頂点が１２個，正三角形の面が２０個ある）の各頂点からのびている５本の辺をそれぞれ１／３の長さの所で切り取り，五角錐をはずします．するとそこに１２枚の正五角形が現れ，２０枚の正三角形が２０枚の正六角形になるわけです．

　サッカーボールは正二十面体の切頂形であって，正五角形が１２枚，正六角形が２０枚の合計３２枚の面で構成されています．１２個の正五角形はすべて離れています．

　先日，娘達

　　佐藤一麦（小学５年生）

　　佐藤千種（４才）

が「ポリドロン」でサッカーボールを作るというので，正五角形が１２枚，正六角形が２０枚の合計３２枚の面で構成されることを教えたところ，最初は正五角形をバラバラに配置しなかったため，間違った異性体（？）を作っていたのですが，最後には正五角形が１枚，正六角形が２枚を１つのユニットとして上手に組み立ててくれました．

　ポリドロンには辺の長さの等しい正三角形〜正六角形の部材があるので，正多面体や準正多面体を簡単に構成することができます．正三角形，正方形に比べて正五角形，正六角形はかなり大きくなるので，巨大なサッカーボールができあがりました．

　９２種類あるジョンソン・ザルガラー多面体の面は正三角形，正方形，正五角形，正六角形，正八角形，正十角形のいずれかなので，もし正八角形，正十角形の部材も市販されているならば相当大きなものが構成できることになるでしょう．

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【１】オイラーの多面体公式

　サッカーボールでは，頂点の数ｖ＝６０，辺の数ｅ＝９０ですから，面の数ｆ＝３２となってオイラーの多面体公式

　　ｖ−ｅ＋ｆ＝２

が成り立っています．しかし，実際に頂点の数ｖや辺の数ｅを数えたら途中で間違うこと必定です．

　そこで，正五角形がｘ面，正六角形がｙ面あるとします．サッカーボールではどの頂点からも３本の辺が出ているので，５ｘ＋６ｙ個の頂点は同じ頂点が重複して３回数えられていることがわかります．したがって，頂点数ｖは

　　３ｖ＝５ｘ＋６ｙ

　同様に，５ｘ＋６ｙ個の辺は同じ辺が重複して２回数えられているので，

　　２ｅ＝５ｘ＋６ｙ

　オイラーの公式に代入すると

　　（５ｘ＋６ｙ）／３−（５ｘ＋６ｙ）／２＋ｘ＋ｙ＝２

より，ｘ＝１２

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　ここで，

（Ｑ）五角形と六角形からなる多面体には五角形が常に１２個ある

ことを証明してみます．

（Ａ）オイラーの多面体定理で示される制限からいえることとして，

　　ｖ−ｅ＋ｆ＝２，２ｅ≧３ｆ，２ｅ≧３ｖ

を組み合わせると，

　　２ｖ＋２ｆ＝２ｅ＋４≧３ｆ＋４　→　ｆ≦２ｖ−４

　　２ｖ＋２ｆ＝２ｅ＋４≧３ｖ＋４　→　ｖ≦２ｆ−４

また，別の組合せ方をすると，

　　３ｖ＋３ｆ＝３ｅ＋６≦２ｅ＋３ｆ　→　３ｆ−ｅ≧６

　　３ｖ＋３ｆ＝３ｅ＋６≧２ｅ＋３ｖ　→　３ｖ−ｅ≧６

　ｎ本の辺をもつｆn枚の面とｎ本の辺が交わるｖn個の頂点をもつ凸多面体について，

　　Ｆ＝ｆ3＋ｆ4＋ｆ5＋・・・

　　２Ｅ＝３ｆ3＋４ｆ4＋５ｆ5＋・・・

　　６Ｆ−２Ｅ≧１２

に代入すると

　　３ｆ3＋２ｆ4＋ｆ5−ｆ7−２ｆ8−３ｆ9−・・・≧１２

　地図のように２つの辺に囲まれた領域まで許すことにすると，この数え上げ公式は

　　４ｆ2＋３ｆ3＋２ｆ4＋ｆ5−ｆ7−２ｆ8−３ｆ9−・・・＝１２

となり，係数が１ずつ小さくなり，それが０となるｆ6は式中に現れない．

　ここで，

(1)ｆ2＝ｆ3＝ｆ4＝０だとすると，少なくとも１２個のｆ5がなければならないことになる

(2)多面体の面がすべてｆ5とｆ6であるならば，ｆ5＝１２（切頂二十面体）

(3)多面体の面がすべてｆ4とｆ6であるならば，ｆ4＝６（切頂八面体）

(4)多面体の面がすべてｆ4，ｆ6，ｆ8であるならば，ｆ4＝ｆ8＋６（斜方切頂立方八面体）

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【２】サッカーボールの異性体

　ダイヤモンドとグラファイト（鉛筆の芯）に次ぐ炭素第３の形として「フラーレン」があげられる．フラーレンは１９７０年に大澤映二氏（当時京都大学）が存在を予言していた分子である．フラーレンの中でも６０個の炭素原子が球殻状に結合したＣ60はサッカーボール（切頂２０面体）にそっくりで，１２個の五角形と２０個の六角形からなる網目状のカゴ構造を形成している．

　１９８５年に，クロト，スモーリー，カール（Kroto,Smalley,Curl）がグラファイトにレーザーを当ててできた欠片をマススペクトルにかけたところ分子量が７２０（Ｃ60）と８４０（Ｃ70）という値が得られその存在が確認された．彼らはネイチャー誌に論文を書いてサッカーボールの画を載せた．（その後，数ｍｇ〜数百ｍｇのフラーレンが得られる製法が開発され，ＮＭＲで間違いなくサッカーボールの形であることが証明された．）

　彼らの論文はサッカーボールの形を推定しただけであるが，結局この３人がノーベル化学賞をもらって，大澤映二氏の名前は世界に広く知られることはなく随筆で止まってしまった．日本人にとっては残念なストーリーであるが，大澤映二氏は有機合成のエキスパート，現在でも精力的に人造・人工ダイヤの研究を行っておられる（現・ナノ炭素研究所）．

　その後，サッカーボール型のＣ60だけでなく、ラグビーボール型のＣ70，金属を内部に取り込んだＣ80などが次々に発見され，これら一群の球状炭素分子はフラーレンと総称される．

　フラーレンはダイヤモンドに次ぐくらい硬く，セシウムやルビジウムなどのアルカリ金属を加えると超伝導をおこすという化学的性質をもつ．切頂２０面体は頂点が６０あり，どの頂点からも３本の手がでている．したがってＣ60では３０本の二重結合（１２５００のケクレ構造）が描ける．

　また，頂点数ｖ＝６０でどの頂点にも正五角形，正六角形が３枚ある異性体は１８１２種類もある．そのうちで１２個の五角形がすべて離れているものが１つだけあり，それがサッカーボール型のＣ60である．この形は最も安定であるが，Ｃ60，Ｃ70以外にも正五角形１２枚，正六角形は２０枚〜１００枚以上の０次元ダイヤモンドが知られている．

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【３】サッカーボールは本当に丸いか？

　次に，サッカーボールの５角形面間距離と６角形面間距離のどちらが大きいかを計算してみることにします．

　この計算に必要とされる数値は互いに相貫する

　　正二十面体の中心から頂点までの距離（外接球の半径）：Ｒ20

　　正二十面体の中心から面の中心までの距離（内接球の半径）：ｒ20

　　正十二面体の中心から頂点までの距離（外接球の半径）：Ｒ12

　　正十二面体の中心から面の中心までの距離（内接球の半径）：ｒ12

で

　　Ｒ12＝ｓｉｎ（π／３）＝√３／２

　　ｒ12＝ｃｏｔ（π／５）ｃｏｓ（π／３）＝（（５＋２√２）／５）^(1/2)／２

　　Ｒ20＝τｓｉｎ（π／５）＝τ（１０＋２√５）^(1/2)／４

　　ｒ20＝τｃｏｔ（π／３）ｃｏｓ（π／５）＝τ／√３・（√５＋１）／２）　

です．

　正二十面体の切頂比を（０≦ｔ≦２／３）とおくと，内接球をもつための条件は

　　切頂面までの距離：ｒ12＋（Ｒ20−ｒ12）（１／２−ｔ）

　　正二十面体面までの距離：ｒ20

が等しくなることです．

　　ｒ12＋（Ｒ20−ｒ12）（１／２−ｔ）＝ｒ20

はｔに関する１次方程式で，その解は

　　ｔ＝(7-√5-2√(10+2√5)/3))/(6-2√5)＝0.242945

となりました．

　すなわち，正二十面体のある頂点から隣接する頂点までの距離の約２４％のところを五角錐状に切り落とすと，正五角形面１２枚と不等辺六角形面２０枚の合計３２枚の面で構成される外接球・内接球を併せもつ多面体になるはずです．

　この多面体はサッカーボールと正二十面体の間，

　　正１２面体←→切頂１２面体←→１２・２０面体←→切頂２０面体←→★←→正２０面体

に位置しますから，サッカーボールでは

　　５角形面間距離／２＝ｒ12＋（Ｒ20−ｒ12）（１／２−１／３）＝.732003

　　６角形面間距離／２＝ｒ20＝.755763

　　５角形面間距離／６角形面間距離=.968562

ということになります．

　なお，正十二面体の切頂として内接球をもつための方程式を立てると

　　ｒ20＋（Ｒ12−ｒ20）（１／２−ｔ）＝ｒ12

　　（０≦ｔ≦１＋１／√５）

より

　　ｔ＝1.1128

が得られました．

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