今回のコラムでは，特殊なＫ・Ｓ多面体の表面積を求めるとともに，その木工模型を中川宏さんに製作してもらうことになった．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【１】Ｋ・Ｓ多面体の表面積

　最も簡単なＫ・Ｓ多面体

　　ｘ1＝＜ｔ＞

　　ｘ2＝＜ｓ＞

　　ｘ3＝＜１−ｔ−ｓ＞

の臨界平面はｘ1＋ｘ2＋ｘ3＝１であるから，１辺の長さ１の立方体に内接する正四面体になる．１辺の長さ√２の正四面体であるから，表面積は２√３である．

　立方体に正四面体を内接させることができることは，最初ケプラーにより指摘されたことからケプラー四面体と呼ばれる．また，立方体に２個の正四面体を天地逆転させて重ねて内接させた相貫体にはケプラー八角星（星形八面体）という名前がつけられている．ケプラー八角星を通常の多面体としてみると表面積は３√３となるが，ケプラー四面体の相貫体（臨界平面の和集合）としてみると，表面積は２√３×２＝４√３となる．

　今回のコラムでは

　　ｘ1＝＜ｔ＞

　　ｘ2＝＜ｓ＞

　　ｘ3＝＜ａ−ｔ−ｓ＞　　　（０＜ａ＜１）

を取り扱うが，このＫ・Ｓ多面体の相貫体の表面積はａに依存せず，４√３になるという．ａ→０またはａ→１ならば，２重に覆われたケプラー四面体に帰着されるというわけである．

　たとえば，ａ＝１／２の場合の臨界平面は

　　ｘ1＋ｘ2＋ｘ3＝１／２　　　→　１辺の長さ√２／２の正三角形（面積：√３／８）

となるが，

　　ｘ1＋ｘ2＋ｘ3＝１／２＋１　→　１辺の長さ√２／２の正六角形（面積：６√３／８）

　　ｘ1＋ｘ2＋ｘ3＝１／２＋２　→　１辺の長さ√２／２の正三角形（面積：√３／８）

を考えることによって，このＫ・Ｓ多面体の相貫体のうち，８枚は正三角形，４枚は正六角形をもつ閉（自己交差）多面体になることがわかる．その表面積は√３×４＝４√３である．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【２】ａ＝１の木工製作

　星形八面体は２つの正四面体をそれぞれの辺が直角に２等分されるように配置したもので，その外側に立方体，内側に正８面体をもっている．正８面体を収納できるように，正四面体４個を貼り付けて固定し，蓋と底を作る上下二段の木工模型を製作してもらった．

　それに対して，準結晶で有名な花形十二面体は，鋭角型の黄金菱形六面体を２０個を組み合わせたものである．花形十二面体は小川泰先生がペンローズ格子（３次元版）について研究中に見つけられて命名された多面体とのことでまさしく「黄金の華」である．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【３】ａ＝１／２の木工製作

　このＫ・Ｓ多面体の相貫体は立方八面体の正方形面を凹ませた形で，星形八面体の上下の段を入れ替えたものになる．

　立方体はその重心を頂点，それぞれの面を底面とする６つの正４角錐からなる．これらの正４角錐を立方体の面に貼り付けることにより菱形１２面体ができる．その双対図形が立方八面体である．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　　［参］シェーンベルグ「数学点描」近代科学社