【１】定幅図形（マンホールのふたはなぜ丸いか？）

　マンホールのふたはなぜ丸いか？というクイズがあります．答えは円は幅が一定なのでふたが丸ければ誤ってマンホールの中にふたが落ちることはないからというものです．それでは円以外にふたが落ちない図形はあるでしょうか？

　ピラミッドの石を積み上げる工事など，重い物を移動させるとき，下にコロ（丸太）を並べて転がすことがあります．この場合，切り口が円であることが重要ではなく，平行線で挟んだときの幅が一定であることが本質的です．

　いかなる方向に関しても等しい幅をもっている図形を「定幅図形」と呼びますが，平面における定幅図形は円だけではなく，そのような形状は（意外にも）無数にあります．

（例１）ルーローの三角形

　ルーローの三角形とは，一辺の長さａの正三角形（２次元単体）の各頂点を中心にして半径ａの円弧を描くと作られる，３つの円弧からなる等辺円弧三角形です．

（例２）ルーローの三角形の平行曲線

　また，各角内に半径ａ＋ｒ，各対角内に半径ｒの円を描いても定幅曲線が得られます．これはルーローの３角形上に中心をもつ定半径円群の包絡線であり，いわば，ルーローの三角形の「平行曲線」です．

（例３）ルーローの多角形およびその平行曲線

　正三角形の代わりに正（２ｑ＋１）角形についても同様です．

（例４）任意の三角形から作られる定幅曲線

　例１〜例３は正奇数角形からの円弧構成によるものでしたが，実は，任意の三角形から定幅曲線を作ることができます．これは，定幅曲線は３角形よりもたくさんあること（すなわち無数にあること）を意味しています．

　定幅曲線の共通の性質として，

　　「幅ｄの定幅曲線の周長Ｌはπｄである」

があげられます（バービエの定理：１８６０年）．円ではｄ＝２ｒ，Ｌ＝２πｒ＝２ｄ．ルーローの三角形では元の三角形の１辺の長さをｌとするとｄ＝ｌ，各円弧の長さはπｌ／３ですから，Ｌ＝πｄを満たします．これにより幅の等しい定幅曲線は周長も等しいことがわかります．

　また，等周不等式により，定幅図形の中で最大の面積をもつものは円であるが，囲む面積が最小のものはなんであろうか？　という問題も派生します．その答えはルーローの三角形であることが証明されています（ブラシュケ・ルベーグ：１９１４年）．ですから同じ幅であれば円よりもルーローの三角形のほうが資源が少なくて済むわけです．

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