直径１００ｍの円のどの２点をとっても互いの距離は１００ｍを超えることはない．平面における定幅図形（いかなる方向に関しても等しい幅をもっている図形）は円だけではなく、そのような形状は無数にある．

　たとえば，１辺の長さ１００ｍの正三角形を膨らましたルーローの三角形（３つの円弧からなる等辺円弧三角形）でも，領域内のどの２点をとっても互いの距離は１００ｍを超えることはない．

　定幅図形の中で最大の面積をもつものは円であり，最小の面積をもつものはルーローの三角形である．

　　円：π・５０^2＝７８５４

　　ルーローの三角形：５０００（π−√３）＝７０４８

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［Ｑ］定幅図形の中で最大の面積をもつものは円であることを証明せよ．

［Ａ］Ｓ＝1/2∫(-π/2,π/2）ｒ^2（θ）ｄθ

＝1/2∫(-π/2,0）ｒ^2（θ）ｄθ＋1/2∫(0,π/2）ｒ^2（θ）ｄθ

＝1/2∫(π/2,0）ｒ^2（θ-π/2）ｄθ＋1/2∫(0,π/2）ｒ^2（θ）ｄθ

＝1/2∫(π/2,0）｛ｒ^2（θ-π/2）＋ｒ^2（θ）｝ｄθ

≦π・５０^2　　（∵ピタゴラスの定理）

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［１］円のまわりには６個の円を接触するように配置できますが，ルーローの三角形のまわりには７個のルーローの三角形を接触するように配置できます．

［２］一般に，３次元以上のｄ次元のとき，定幅で体積が最大のものはｄ次元球ですが，体積最小のものは解明されていません．

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