もし，通常のサイコロではなく，正八面体サイコロだったら，（その４）（その４）の問題はどうなるだろうか？

　　［参］坂井公「パズルの国のアリス」日経サイエンス

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　正八面体のサイコロの母関数は

　　Ｐ（ｘ）＝ｘ＋ｘ^2＋ｘ^3＋ｘ^4＋ｘ^5＋ｘ^6＋ｘ^7＋ｘ^8

　　　　　　＝ｘ（ｘ＋１）（ｘ^2＋１）（ｘ^4＋１）

であり，２つを振ったときでる目の合計の母関数は

　　｛Ｐ（ｘ）｝^2＝ｘ^2（ｘ＋１）^2（ｘ^2＋１）^2（ｘ^4＋１）^2

＝ｘ^2＋２ｘ^3＋３ｘ^4＋４ｘ^5＋５ｘ^6＋６ｘ^7＋５ｘ^8＋４ｘ^9＋３ｘ^10＋２ｘ^11＋ｘ^12

になる．

　したがって，たとえば，

　　Ｑ（ｘ）＝ｘ^2（ｘ＋１）^2（ｘ^2＋ｘ＋１）

＝ｘ^2＋ｘ^3＋ｘ^5＋ｘ^6

　　Ｒ（ｘ）＝（ｘ^2＋ｘ＋１）（ｘ^2−ｘ＋１）^2

＝ｘ^0＋ｘ^1＋２ｘ^2＋ｘ^3＋２ｘ^4＋ｘ^5＋ｘ^6

ならば，

　　｛Ｐ（ｘ）｝^2＝Ｑ（ｘ）Ｒ（ｘ）

となる．

　これには３通りの解がある．

［１］

Ｑ（ｘ）＝ｘ（ｘ＋１）（ｘ^2＋１）^2＝ｘ＋ｘ^2＋２ｘ^3＋２ｘ^4＋ｘ^5＋ｘ^6→八面体サイコロ｛１，２，３，３，４，４，５，６｝

Ｒ（ｘ）＝ｘ（ｘ＋１）（ｘ^4＋１）^2＝ｘ^1＋ｘ^2＋２ｘ^5＋２ｘ^6＋ｘ^9＋ｘ^10→八面体サイコロ｛１，２，５，５，６，６，９，１０｝

［２］

Ｑ（ｘ）＝ｘ（ｘ＋１）^2（ｘ^2＋１）＝ｘ＋２ｘ^2＋２ｘ^3＋２ｘ^4＋ｘ^5→八面体サイコロ｛１，２，２，３，３，４，４，５｝

Ｒ（ｘ）＝ｘ（ｘ^2＋１）（ｘ^4＋１）^2＝ｘ^1＋ｘ^3＋２ｘ^5＋２ｘ^7＋ｘ^9＋ｘ^11→八面体サイコロ｛１，３，５，５，７，７，９，１１｝

［３］

Ｑ（ｘ）＝ｘ（ｘ＋１）^2（ｘ^4＋１）＝ｘ＋２ｘ^2＋ｘ^3＋ｘ^5＋２ｘ^6＋ｘ^7→八面体サイコロ｛１，２，２，３，５，６，６，７｝

Ｒ（ｘ）＝ｘ（ｘ^2＋１）^2（ｘ^4＋１）^2＝ｘ^1＋２ｘ^3＋２ｘ^5＋２ｘ^7＋ｘ^9→八面体サイコロ｛１，３，３，５，５，７，７，９｝

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