１^2＝１

１１^2＝１２１

１１１^2＝１２３２１

１１１１^2＝１２３４３２１

１１１１１^2＝１２３４５４３２１

１１１１１１^2＝１２３４５６５４３２１

１１１１１１１^2＝１２３４５６７６５４３２１

１１１１１１１１^2＝１２３４５６７８７６５４３２１

１１１１１１１１１^2＝１２３４５６７８９８７６５４３２１

１１１１１１１１１１^2＝１２３４５６７８９［１０］９８７６５４３２１

１１１１１１１１１１１^2＝１２３４５６７８９［１０］［１１］［１０］９８７６５４３２１

　次に，１１のｎ乗数を並べて見ると

１１^0＝１

１１^1＝１１

１１^2＝１２１

１１^3＝１３３１

１１^4＝１４６４１

１１^5＝１５［１０］［１０］５１

１１^6＝１６［１５］［２０］［１５］６１

　１が連続する数を１の反復数（レプユニット）という．

１＝１

１１＝１１

１１１＝３・３７

１１１１＝１１・１０１

１１１１１＝４１・２７１

１１１１１１＝３・７・１１・１３・３７

１１１１１１１＝２３９・４６４９

１１１１１１１１＝１１・７３・１０１・１３７

１１１１１１１１１＝３・３・３７・３３３６６７

１１１１１１１１１１＝１１・４１・２７１・９０９１

１１１１１１１１１１１＝２１６４９・５１３２３９

　１０進法表記で１がｎ個並ぶｎ桁のレプユニットは

　　Ｒn＝（１０^n−１）／９

の形に書くことができる．１以外の数，たとえば７がｎ個並ぶ数は７で割れるから素数ではない．１の場合だけが明らかではないのだが，それでは，

（Ｑ）３桁以上のレプユニットはすべて素数ではないのだろうか？

（Ａ）No.

　Ｒnが素数ならば，ｎは素数でなければならない．ｎ＝２，１９，２３，３１７，１０３１の場合，Ｒnは素数であることが知られているが，いまのところ，これ以外のレプユニット型素数は知られておらず，レプユニット型素数が無限個あるのかどうかは未解決である．

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　特殊な形の素数としては

　　カレン数：ｎ・２^n＋１型素数

　　フェルマー素数：２^(2^n)＋１型素数

　　メルセンヌ素数：２^n−１型素数

などがあげられる．

　フェルマー数の因数はｋ・２^n＋１の形をしていることから，オイラーは

２^(2^5)＋１＝４２９４９６７２９７＝６４１・６７００４１７

と分解されることを見いだした．

　　［参］加藤明史「読んで楽しむ代数学」現代数学社

にはレプユニットの別の見方も掲載されていたので，紹介しておきたい．

１・９＋２＝１１

１２・９＋３＝１１１

１２３・９＋４＝１１１１

１２３４・９＋５＝１１１１１

１２３４５・９＋６＝１１１１１１

１２３４５６・９＋７＝１１１１１１１

１２３４５６７・９＋８＝１１１１１１１１

１２３４５６７８・９＋９＝１１１１１１１１１

１２３４５６７８９・９＋１０＝１１１１１１１１１１

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