【１】正単体×正軸体

［１］Σ(0,k)２^(j+1)（ｍ，ｊ＋１）・n+1Ｃk-j+1

＝Σ（ｎ＋１）！／（ｋ−ｊ＋１）！（ｎ−ｋ＋ｊ）！・２^(j+1)ｍ！／（ｊ＋１）！（ｍ−ｊ−１）！

とする．

［２］Σ(0,k)n+1Ｃj+1・２^(k-j+1)（ｍ，ｋ−ｊ＋１）

＝Σ（ｎ＋１）！／（ｊ＋１）！（ｎ−ｊ）！・２^(k-j+1)ｍ！／（ｋ−ｊ＋１）！（ｍ−ｋ＋ｊ−１）！

　したがって，

Σ(0,k)２^(j+1)／（ｎ−ｋ＋ｊ）！（ｍ−ｊ−１）！＝Σ(0,k)２^(k-j+1)／（ｎ−ｊ）！（ｍ−ｋ＋ｊ−１）！

かどうかを問う問題となった．

左辺は２／（ｎ−ｋ）！（ｍ−１）！＋・・・＋２^(k+1)／ｎ！（ｍ−ｋ−１）！

右辺は２^(k+1)／ｎ！（ｍ−ｋ−１）！＋・・・＋２／（ｎ−ｋ）！（ｍ−１）！

となり，等しい．

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【２】立方体×正軸体

［１］Σ(0,k)２^(j+1)（ｍ，ｊ＋１）・２^(n-k+j)（ｎ，ｋ−ｊ）

＝Σ２^(n+2j-k+1)ｍ！／（ｊ＋１）！（ｍ−ｊ＋１）！・ｎ！／（ｋ−ｊ）！（ｎ−ｋ＋ｊ）！とする．

［２］Σ(0,k)２^(n-j)（ｎ，ｊ）・２^(k-j+1)（ｍ，ｋ−ｊ＋１）

＝Σ２^(n-2j+k+1)ｎ！／ｊ！（ｎ−ｊ）！・ｍ！／（ｋ−ｊ＋１）！（ｍ−ｋ＋ｊ−１）！

　したがって，

Σ(0,k)２^(n+2j-k+1)／（ｊ＋１）（ｍ−ｊ＋１）！（ｎ−ｋ＋ｊ）！＝Σ(0,k)２^(n-2j+k+1)／（ｋ−ｊ＋１）（ｎ−ｊ）！（ｍ−ｋ＋ｊ−１）！

かどうかを問う問題となった．

左辺は２^(n-k+1)／（ｍ＋１）！（ｎ−ｋ）！＋・・・＋２^(n+k+1)／（ｋ＋１）ｎ！（ｍ−ｋ−１）！

右辺は２^(n+k+1)／（ｋ＋１）ｎ！（ｍ−ｋ−１）！＋・・・＋２^(n-k+1)／（ｎ−ｋ）！（ｍ−１）！

となり，等しい．

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