[1]正単体:Nk^(n)=(n+1,k+1)
[2]立方体:Nk^(n)=2^(n-k)(n,k)
[3]正軸体:Nk^(n)=2^(k+1)(n,k+1)
に対して
[1]Nk^(n+1)=Σ(0,k)Nj^(m)Nk-j^(n)
[2]Nk^(m+1)=Σ(0,k)Nj^(n)Nk-j^(m)
の組み合わせを考える.
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【1】正単体×立方体
[1]Σ(0,k)m+1Cj+1・2^(n-k+j)(n,k-j)
=Σ(m+1)!/(j+1)!(m-j)!・2^(n-k+j)n!/(k-j)!(n-k+j)!
[2]Σ(0,k)n+1Cj+1・2^(m-k+j)(m,k-j)
=Σ(n+1)!/(j+1)!(n-j)!・2^(m-k+j)m!/(k-j)!(m-k+j)!
したがって,
Σ(0,k)2^(n-k+j)(m+1)/(m-j)!(n-k+j)!=Σ(0,k)2^(m-k+j)(n+1)/(n-j)!(m-k+j)!
かどうかを問う問題となった.
左辺は(m+1){2(n-k)/m!(n-k)!+・・・+2^n/(m-n)!n!}
右辺は(n+1){2(m-k)/n!(m-k)!+・・・+2^m/(n-k)!m!
となり,等しくならない.次回の宿題としたい.
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