［１］正単体：Ｎk^(n)＝（ｎ＋１，ｋ＋１）

［２］立方体：Ｎk^(n)＝２^(n-k)（ｎ，ｋ）

［３］正軸体：Ｎk^(n)＝２^(k+1)（ｎ，ｋ＋１）

に対して

［１］Ｎk^(n+1)＝Σ(0,k)Ｎj^(m)Ｎk-j^(n)

［２］Ｎk^(m+1)＝Σ(0,k)Ｎj^(n)Ｎk-j^(m)

の組み合わせを考える．

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【１】正単体×立方体

［１］Σ(0,k)m+1Ｃj+1・２^(n-k+j)（ｎ，ｋ−ｊ）

＝Σ（ｍ＋１）！／（ｊ＋１）！（ｍ−ｊ）！・２^(n-k+j)ｎ！／（ｋ−ｊ）！（ｎ−ｋ＋ｊ）！

［２］Σ(0,k)n+1Ｃj+1・２^(m-k+j)（ｍ，ｋ−ｊ）

＝Σ（ｎ＋１）！／（ｊ＋１）！（ｎ−ｊ）！・２^(m-k+j)ｍ！／（ｋ−ｊ）！（ｍ−ｋ＋ｊ）！

　したがって，

Σ(0,k)２^(n-k+j)（ｍ＋１）／（ｍ−ｊ）！（ｎ−ｋ＋ｊ）！＝Σ(0,k)２^(m-k+j)（ｎ＋１）／（ｎ−ｊ）！（ｍ−ｋ＋ｊ）！

かどうかを問う問題となった．

左辺は（ｍ＋１）｛２(n-k)／ｍ！（ｎ−ｋ）！＋・・・＋２^n／（ｍ−ｎ）！ｎ！｝

右辺は（ｎ＋１）｛２(m-k)／ｎ！（ｍ−ｋ）！＋・・・＋２^m／（ｎ−ｋ）！ｍ！

となり，等しくならない．次回の宿題としたい．

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