ｎ正単体とｍ正単体の直積を考えてきたが，

［１］立方体：Ｎk^(n)＝２^(n-k)（ｎ，ｋ）

［２］正軸体：Ｎk^(n)＝２^(k+1)（ｎ，ｋ＋１）

の場合も

［１］Ｎk^(n+1)＝Σ(0,k)Ｎj^(m)Ｎk-j^(n)

［２］Ｎk^(m+1)＝Σ(0,k)Ｎj^(n)Ｎk-j^(m)

が等しくなるかどうか，調べてみたい．

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【１】立方体の場合

［１］Σ(0,k)２^(m-j)（ｍ，ｊ）２^(n-k+j)（ｎ，ｋ−ｊ）

＝Σ２^(n+m-j)ｍ！／ｊ！（ｍ−ｊ）！・ｎ！／（ｋ−ｊ）！（ｎ−ｋ＋ｊ）！

［２］Σ(0,k)２^(n-j)（ｎ，ｊ）２^(m-k+j)（ｍ，ｋ−ｊ）

＝Σ２^(n+m-j)ｎ！／ｊ！（ｎ−ｊ）！・ｍ！／（ｋ−ｊ）！（ｍ−ｋ＋ｊ）！

　したがって，（その５）と同様

Σ(0,k)（ｍ−ｊ）！（ｎ−ｋ＋ｊ）！＝Σ(0,k)（ｎ−ｊ）！（ｍ−ｋ＋ｊ）！かどうかを問う問題となった．等しいことは確認済み．

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【２】正軸体の場合

［１］Σ(0,k)２^(j+1)（ｍ，ｊ＋１）２^(k-j+1)（ｎ，ｋ−ｊ＋１）

＝Σ２^(k+2)ｍ！／（ｊ＋１）！（ｍ−ｊ−１）！・ｎ！／（ｋ−ｊ＋１）！（ｎ−ｋ＋ｊ−１）！

［２］Σ(0,k)２^(j+1)（ｎ，ｊ＋１）２^(k-j+1)（ｍ，ｋ−ｊ＋１）

＝Σ２^(k+2)ｎ！／（ｊ＋１）！（ｎ−ｊ−１）！・ｍ！／（ｋ−ｊ＋１）！（ｍ−ｋ＋ｊ−１）！

　したがって，（その５）とほぼ同様

Σ(0,k)（ｍ−ｊ−１）！（ｎ−ｋ＋ｊ−１）！＝Σ(0,k)（ｎ−ｊ−１）！（ｍ−ｋ＋ｊ−１）！かどうかを問う問題となった．等しいことは確認済み．

左辺は（ｍ−１）！（ｎ−ｋ−１）！＋・・・＋（ｍ−ｋ−１）！（ｎ−１）！

右辺は（ｎ−１）！（ｍ−ｋ−１）！＋・・・＋（ｎ−ｋ−１）！（ｍ−１）！

となり，等しい．

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