半立方体（ｎ次元の超立方体において，ひとつおきの頂点（全体で２^n-1個）を結んでできる図形）の要素数を計算してみたところ，やはり，７次元までは個別にうまく計算できたものの８次元でゆきづまりました．ｎ≧４では側面（１次元低い胞）が２種類現れて，次元を下げていってもｆ4以上で２種類の図形が複雑に絡み合うのが原因です．

　３次元：（ｆ0，ｆ1，ｆ2）＝（４，６，４）　　　（正四面体）

　４次元：（ｆ0，ｆ1，ｆ2，ｆ3）＝（８，２４，３２，１６）　　　（正１６胞体）

　５次元：（ｆ0，ｆ1，ｆ2，ｆ3，ｆ4）＝（１６，８０，１６０，１２０，１６＋１０）

　６次元：（ｆ0，ｆ1，ｆ2，ｆ3，ｆ4，ｆ5）＝（３２，２４０，６４０，６４０，１９２＋６０，３２＋１２）

　７次元：（ｆ0，ｆ1，ｆ2，ｆ3，ｆ4，ｆ5，ｆ6）＝（６４，６７２，２２４０，２８００，１３４４＋２８０，４４８＋８４，６４＋１４）

　ｆ2は正三角形，ｆ3は正四面体，ｆ4以上で２種類の形の各々の和

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　そこで，漸化式を作ってみたところ，

　　合計＝２^n-1・（ｎ，ｋ＋１）＋２ｎ・ｆ（ｎ−１，ｋ）

　　ｆ（ｎ，０）＝合計／２ｎ

　　ｆ（ｎ，１）＝合計／ｎ

　　ｆ（ｎ，ｋ）＝合計／（ｎ−ｋ），ｋ＝２〜ｎ−１

の形で与えられる．

　漸化式を解いてみると，

　　ｆ（ｎ，ｋ）＝ｎ！／（ｋ＋１）！（ｎ−ｋ）！｛２^n-1（ｎ−ｋ）＋２^n-k（ｋ＋１）｝

ときれいな形にまとまった．

　これは

　　ｆ（ｎ，ｋ）＝ｎ次元立方体のｋ面数＋２^n-k-2（ｎ次元立方体のｎ−ｋ−１面数）

になっている．

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