［Ｑ］正多面体の外側で球の内側の体積は？

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［１］正四面体（１辺の長さ２）

　　Ｐ0（０，０，０）

　　Ｐ1（１，０，０）

　　Ｐ2（１，√（１／３），０）

　　Ｐ3（１，√（１／３），√（１／６））

　　Ｐ1Ｐ3＝√（１／２），Ｐ2Ｐ3＝√（１／６）→半径１の球に中接する正四面体の各面までの距離はＰ2Ｐ3／Ｐ1Ｐ3＝１／√３

　半径１の円の１／√３≦ｘ≦１の部分をｘ軸の周りに回転させてできる図形４個分の体積は

　　４π∫（１−ｘ^2）ｄｘ＝（８／３−３２√３／２７）π

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［２］立方体（１辺の長さ２）

　　Ｐ0（０，０，０）

　　Ｐ1（１，０，０）

　　Ｐ2（１，１，０）

　　Ｐ3（１，１，１）

　　Ｐ1Ｐ3＝√２，Ｐ2Ｐ3＝１→半径１の球に中接する立方体の各面までの距離はＰ2Ｐ3／Ｐ1Ｐ3＝１／√２

　半径１の円の１／√２≦ｘ≦１の部分をｘ軸の周りに回転させてできる図形６個分の体積は

　　６π∫（１−ｘ^2）ｄｘ＝（各自計算されたい）

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［３］正八面体（１辺の長さ２）

　　Ｐ0（０，０，０）

　　Ｐ1（１，０，０）

　　Ｐ2（１，√（１／３），０）

　　Ｐ3（１，√（１／３），√（２／３））

　　Ｐ1Ｐ3＝１，Ｐ2Ｐ3＝√（２／３）→半径１の球に中接する正八面体の各面までの距離はＰ2Ｐ3／Ｐ1Ｐ3＝√（２／３）

　半径１の円の√（２／３）≦ｘ≦１の部分をｘ軸の周りに回転させてできる図形８個分の体積は

　　８π∫（１−ｘ^2）ｄｘ＝（各自計算されたい）

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［４］正２０面体（１辺の長さ２）

　　Ｐ0（０，０，０）

　　Ｐ1（１，０，０）

　　Ｐ2（１，√（１／３），０）

　　Ｐ3（１，√（１／３），τ^2／√３）

　　Ｐ1Ｐ3＝√（（１＋τ^4）／３），Ｐ2Ｐ3＝τ^2／√３

　　τ^4＝３τ＋２→√（１＋τ^4）＝τ√３

　　Ｐ2Ｐ3／Ｐ1Ｐ3＝τ／３

　半径１の円のτ／３≦ｘ≦１の部分をｘ軸の周りに回転させてできる図形２０個分の体積は

　　２０π∫（１−ｘ^2）ｄｘ＝（各自計算されたい）

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［５］正１２面体（１辺の長さ２）

　　Ｐ0（０，０，０）

　　Ｐ1（１，０，０）

　　Ｐ2（１，τ√（（τ^2＋１）／５），０）

　　Ｐ3（１，τ√（（τ^2＋１）／５），τ^2√（τ^2＋１）／５））

　　Ｐ1Ｐ3＝√（τ^2＋τ^4）・√（（１＋τ^2）／５）

　　Ｐ2Ｐ3＝τ^2√（τ^2＋１）／５）

　　Ｐ2Ｐ3／Ｐ1Ｐ3＝τ／√（τ^2＋１）

　半径１の円のτ／√（τ^2＋１）≦ｘ≦１の部分をｘ軸の周りに回転させてできる図形１２個分の体積は

　　１２π∫（１−ｘ^2）ｄｘ＝（各自計算されたい）

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