３次元凸多面体の頂点，辺，面の数をそれぞれｖ，ｅ，ｆとすると，

　　ｖ−ｅ＋ｆ＝２　　（オイラーの多面体定理）

が成り立ちます．たとえば，正八面体ではｆ＝８，ｖ＝６，ｅ＝１２．切頂２０面体ではｆ＝３２（正五角形１２枚，正六角形２０枚），ｖ＝６０，ｅ＝９０でオイラーの公式が成り立っているが，正多面体に限らず任意の凸多面体について常に成立する公式である．

　これは３次元立体について，０次元の特性数であるｖ，１次元の特性数であるｅ，２次元の特性数であるｆの関係を述べたものと解釈され，最も美しい数学の１０大定理の１つに挙げられるものです．量（ｖ−ｅ＋ｆ）はオイラー標数と呼ばれます．オイラー標数は幾何学において重要な概念である位相不変量の草分けであり，オイラーの多面体定理を利用すると，

　　１）どの面も同数の辺で囲まれている．

　　２）どの頂点にも同数の辺が集まっている．

という仮定をするだけで，正多角形であるという仮定をまったくせずとも正多面体は５種類しかないことを証明可能になります．

　これが実に役立つ公式で，たとえばオイラーの多面体定理で示される制限から，正多面体は５種類しかないとか，すべての面が六角形であるような多面体は存在しないという結論，単一の凸ｎ角形で平面を敷き詰めるものはｎ≧７では存在しないこと，２次元以上ですべての頂点の次数が６以上となることは不可能であり，必ず次数が５以下の頂点をもつことなどが導き出されます．

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【１】オイラー・ポアンカレの定理

　ｆkをｎ次元多面体のｋ次元面の数とし，

　　（ｆ0，ｆ1，・・・，ｆn-2，ｆn-1）

を構成要素とするｎ次元正多胞体は，オイラー・ポアンカレの定理：

　　ｆ0−ｆ1＋ｆ2−・・・＋（−１）^(n-1)ｆn-1＝１−（−１）^n

すなわち，ｎが奇数なら２，偶数なら０を満たす．偶数次元のオイラー・ポアンカレの公式は定数項がない同次式であるのだが，この定理は正多胞体に限らず，ｎ次元凸多胞体について常に成立する．

　ｎ次元正多胞体では，組み合わせ的方法によって，ｋ次元胞数ｆkが求められる．たとえば，正単体では

　　ｆk＝（ｎ＋１，ｋ＋１）

なのですが，ｋ＝ｎ−１のときｆk＝ｎ＋１であって，胞数はｎ＋１と計算される．

　同様に，正軸体では

　　ｆk＝２^k+1（ｎ，ｋ＋１），ｋ＝ｎ−１のとき，ｆk＝２^n

立方体では

　　ｆk＝２^n-k（ｎ，ｋ），ｋ＝ｎ−１のとき，ｆk＝２ｎ

となる．

　もちろん，

　　正単体：ｆk＝（ｎ＋１，ｋ＋１）

　　正軸体：ｆk＝２^k+1（ｎ，ｋ＋１）

　　立方体：ｆk＝２^n-k（ｎ，ｋ）

はオイラー・ポアンカレの定理を満たす．

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