コラム「和算にまなぶ（その３）」の定理は，４次元にも拡張することできることがわかったが，もうひとつの拡張する方向として，３次元の三角柱と三角錐，五角柱と五角錐にも成り立つことがわかっている．

　正１２面体のひとつの頂点を原点に移すと，１辺の長さ２の正１２面体の基本単体の座標は，

　　ａ1＝１，ａ2＝√τ（τ^2＋１）／５，ａ3＝τａ2

と表すことができる．

　あとはわかればよいのは，正１２面体の高さではなく，角錐の高さＨである．

　座標（ａ1，ａ2，ａ3，Ｈ）

と

　（０，０，０，０）との距離が２であるから，

　　ａ1^2＋ａ2^2＋ａ3^2＋Ｈ^2＝４

　　Ｈ^2＝３−τ（τ^2＋１）／５−τ^3（τ^2＋１）／５

＝３−τ（τ^2＋１）^2／５＜０

　３次元では存在するが，４次元では存在できないことがわかる．

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【補】正十二面体

　τ＝（１＋√５）／２とおくと，正十二面体は立方体の頂点（±１，±１，±１）と（±τ，±１／τ，０）の巡回置換で表される点，合計２０点を結んでできる．１辺の長さ２／τ，外接球の半径√３．

　対角線の長さとその個数は

　　Ｌ1＝２／τ，Ｎ1＝３

　　Ｌ2＝２，Ｎ2＝６

　　Ｌ3＝２√２，Ｎ3＝６

　　Ｌ4＝２τ，Ｎ4＝３

　　Ｌ5＝２√３，Ｎ5＝１

　　Ｖ＝２０，Ｋ＝１／３

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