中正方形と小正方形をいくつかのピースに切り離して並べ替えて，１つの大正方形を作るというパズルがあります．あるいは２つの正方形に砂粒を充填し，それを大正方形に移動させることによって面積を測るものもあります．
これらのパズルは面積を使ったピタゴラスの定理：ａ^2＝ｂ^2＋ｃ^2の証明玩具になっています．今回のコラムではこの考え方を応用して，正三角形を６ピースに切って並び替えて正方形に作り替えるパズルを紹介します．
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
【１】長方形の分割
１辺の長さが２の正三角形の面積は３^1/2であるから，正三角形と同じ面積をもつ正方形の１辺の長さは３^1/4でなければならない．
１回で正三角形から正方形に移すことは簡単ではないから，長方形を正方形に等積変形させることを考えよう．正三角形を中線で２つの直角三角形に分割して並べ直せば１回で１×√３の長方形を作成することができる．この長方形の頂点と１辺の長さ３^1/4の正方形の頂点を同じ点に固定して，長方形の長い方の辺上に正方形のもう一つの頂点がのるように重ねる．
長方形の頂点をＡ（０，√３），Ｂ（０，０），Ｃ（１，０），Ｄ（１，√３），正方形の頂点をＡ（０，√３），Ｐ，Ｑ，Ｒとし，辺ＣＤ上に点Ｒがあるものとする．このとき，ＡＲ＝３^1/4より，
Ｒ（１，√３−（√３−１）^1/2）＝（１，．８７６４５１）
点Ｒを作図で求めるためには，点Ｅ（０，√３＋１）をとり，ＢＥを直径とする円を描き，辺ＡＤの延長線と円の交点をＦとすればＡＦ＝ＡＲとなる．
Ｐ（−（√３−１）^1/2，√３−１）＝（−．８５５６，．７３２０５１）
Ａ＋Ｑ＝Ｐ＋Ｒより
Ｑ（１−（√３−１）^1/2，√３−１−（√３−１）^1/2）＝（．１４４４，−．１２３５４９）
このとき，長方形の頂点Ｂは正方形の辺ＰＱ上にのっていることがわかる．また，２つの図形を重ねてはみ出したところを切り取ってピースを作るのだが，辺ＢＣと辺ＱＲの交点Ｓの座標は
Ｓ（√３（１−（√３−１）^1/2），０）＝（．２５０１０９，０）
ＲＳ：ＳＱ＝．８７６４５１：．１２３５４９
三角形ＢＱＳをｙ軸方向に平行移動させて，頂点Ｂを頂点Ａに重ねた三角形をＡＱ’Ｓ’とすると
Ｑ’（１−（√３−１）^1/2，２√３−１−（√３−１）^1/2）＝（．１４４４，１．６０８５）
Ｓ’（√３（１−（√３−１）^1/2），√３）＝（．２５０１０９，１．７３２０５）
さらに，対角線ＢＤと辺ＡＲの交点Ｔは
Ｔ（√３／（√３＋（√３−１）^1/2），３／（√３＋（√３−１）^1/2）＝（．６６９３５３，１．１５９３５）
と求められる．
ＡＱ’：Ｑ’Ｔ：ＴＲ＝．１４４４：．５２４９５２：．３３０６４０７
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
【２】正方形の分割
こうして長方形ＡＢＣＤに対してＢＤ，ＡＲ，ＲＳ，Ｑ’Ｓ’で６ピースに切断し，それらを並べ替えると正方形を作ることができる．厚手の正方形の板ＡＰＱＲから切り出す場合の寸法を示しておきたい．
ＡＰを．８７６４５１：．１２３５４９＝ｓ：１−ｓに内分する点をＵとする
ＰＱを．５２４９５２：．３３０６４７：．１４４４＝ｔ：ｕ：１−ｔ−ｕに内分する点をＶ，Ｗとする
ＱＲを．１２３５４９：．８７６４５１＝１−ｓ：ｓに内分する点をＸとする
ＲＡを．３３０６４０７：．６６９３５９３＝ｘｕ：１−ｕに内分する点をＹとする
点Ｗと点Ｘ，点Ｗと点Ｙ，点Ｗと点Ａを結び，ＡＷを．５０６０１９：．４９３９８１＝ｖ：１−ｖに内分する点Ｚをとり，点Ｚと点Ｕ，点Ｚと点Ｖと結べば正方形分割ができあがる．
各点の座標を
Ａ（０，１），Ｐ（０，０），Ｑ（１，０），Ｒ（１，１）
Ｕ（０，１−ｓ），Ｖ（ｔ，０），Ｗ（ｔ＋ｕ，０），Ｘ（１，１−ｓ），Ｙ（１−ｕ，１）
ｓ＝．８７６４５１，ｔ＝．５２４９５２，ｕ＝．３３０６４７，ｖ＝．５０６０１９
と定めると
Ｚ（ｖ（ｔ＋ｕ），１−ｖ（１−ｔ））
これらから各ピースの角度を計算することができる．
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
【３】雑感
このパズルでは６ピースを並べ替えると正方形を作ることができるが，正三角形を作るためには３ピースを裏返ししなければならない．また，長方形から正方形に等積変形させる際にも，カンタベリー・パズルのようにハトメ返しすることができず，並べ替えが必要になる．以下に，中川宏さんに製作してもらった６ピース・パズルの動作を示す．
デュドニーはわずか４ピースにして１回で正三角形から正方形にハトメ返しで移すのに成功したのであるが，カンタベリー・パズルの切断法がいかにエレガントなものかわかるであろう．
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
