デュドニーの問題は４切片で正三角形から正方形に移すことですが，カンタベリー・パズルには平面充填形（タイル張り）の理論が潜んでいることに気づけばその切り分け方を見いだすことができます．

　ハトメのうち２つは正三角形の２辺の中点にあり，もう一つの辺は０．９８２：２：１．０１８に内分され，その一方にハトメがついているのですが，今回のコラムでは正三角形を４つの多角形（３つの四角形と１つの直角三角形）に分割する際，辺を０．９８２：２：１．０１８に内分する作図方法を紹介します．

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【１】正三角形の分割

　デュドニーのカンタベリー・パズルでは，正三角形と正方形の面積は等しい．１辺の長さが２の正三角形の面積は３^1/2だから，同じ面積をもつ正方形の１辺の長さは３^1/4でなければならない．

　１回で正三角形から正方形に移すことは簡単ではない．しかし，中線で２つの直角三角形に分割して並べ直せば１回で１×√３の長方形を作成することができる．

　そこで，中線ではなくその位置をずらすことを考え，正三角形ＡＢＣの辺ＢＣの中点をＭ，辺ＣＡの中点をＮとし，辺ＡＢ上に内分点Ｆ，Ｇをとり，線分ＦＭに点Ｎと点Ｇから垂線を下ろして正三角形を分割することにする．

　　Ａ（０，３^1/2），Ｂ（−１，０），Ｃ（１，０）

　　Ｍ（０，０），Ｎ（１／２，３^1/2／２）

　正三角形の周は正方形の内部に移り，正方形の周は正三角形の内部の点だけから構成されるから，正三角形の２辺の中点Ｍ，Ｎをとるのは正三角形の周を正方形の内部に移し，３つの頂点を１点に会させるためである．

　また，線分ＦＭに点Ｎと点Ｇから垂線を下ろすのは４つの角をすべて直角にするためである．また，このとき，辺ＡＢ上の２点Ｆ，Ｇに対してＦＧ＝１となることが必要条件になる．

　ＢＭ＝ＭＣ＝ＣＮ＝ＮＡ＝１であるが，中線上にもＬＭ＝１となるような点をとり，その点を点Ｌとする．次に，ＬＭ＝１を１辺とする正三角形を辺ＡＢ側に描き，その頂点の位置を点Ｋとする．

　　Ｋ（−３^1/2／２，１／２）

　最後に，辺ＡＢ上に

　　ＬＭ＝ＫＦ＝ＦＧ＝１

となる点Ｆと点Ｇを求める．このとき，ＭＮＦＧは平行四辺形となっている．

　ＡＦ＝ｔとおくと

　　Ｆ（−ｔ／２，−ｔ３^1/2／２＋３^1/2）

　　Ｇ（−（ｔ＋１）／２，−（ｔ＋１）３^1/2／２＋３^1/2）

と表されるから，ＫＦ＝１より

　　ｔ^2−３ｔ＋３−３^1/2＝０

　　ｔ＝（３−（４・３^1/2−３）^1/2）／２＝．５０９０１５

　　ＡＦ：ＦＧ：ＧＢ＝ｔ：１：（１−ｔ）

　＝１．０１８：２：０．９８２

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【２】デュドニー分割の計量

　点Ｎから下ろした垂線の足を点Ｐ，点Ｇから下ろした垂線の足を点Ｑとすると，正三角形は３つの四角形と１つの直角三角形に分割される．３つの四角形もそれぞれ直角をもつ．

　　ＢＭ＝ＭＣ＝ＣＮ＝ＮＡ＝１

であるが，正方形を構成するためにはさらに

　　ＰＮ＝ＱＧ

　　ＰＭ＋ＱＭ＝ＦＭ（＝２ＰＮ＝２ＱＧ）

という関係が成り立てばよいのだが，この作図法では当該の十分条件が満たされているのである．そのことを示すために，デュドニー分割の計量を与えておこう．

　　Ｆ（−ｔ／２，−ｔ３^1/2／２＋３^1/2）＝（−．２５４５０８，１．２９１２３）

よりＦＭの方程式は

　　（ｔ３^1/2／２−３^1/2）ｘ−（ｔ／２）ｙ＝０

ここで，ｍ＝（ｔ３^1/2／２−３^1/2）／（ｔ／２）＝−５．０７３４５とおくと

　　ｍｘ−ｙ＝０

また，

　　Ｇ（−（ｔ＋１）／２，−（ｔ＋１）３^1/2／２＋３^1/2）＝（−ｔ／２−１／２，−ｍｔ／２−３^1/2／２）＝（−．７５４５０８，．４２５２０５）

　　ＦＭ^2＝（ｔ／２）^2＋（ｔ３^1/2／２−３^1/2）^2＝（ｔ／２）^2（１＋ｍ^2）：ＦＭ＝１．３１６０７

　　ＰＮ^2＝（ｍ／２−３^1/2／２）^2／（１＋ｍ^2）：ＰＮ＝．６５８０３７

　　ＱＧ^2＝（ｍｔ／２＋１／２−ｍｔ／２−３^1/2／２）^2／（１＋ｍ^2）

　　　　　＝（ｍ／２−３^1/2／２）^2／（１＋ｍ^2）＝ＰＮ^2

　　Ｐのｘ座標＝（１＋ｍ３^1/2）／２（１＋ｍ^2）＝−．１４５６１５

　　Ｐのｙ座標＝ｍ×（Ｐのｘ座標）

　　Ｑのｘ座標＝（１＋ｔ＋ｍ^2ｔ＋ｍ３^1/2）／２（１＋ｍ^2）＝−．１０８８９２

　　Ｑのｙ座標＝ｍ×（Ｑのｘ座標）

　　ＰＭ^2＝（１＋ｍ３^1/2）^2／４（１＋ｍ^2）：ＰＭ＝．７５２９８６

　　ＱＭ^2＝（１＋ｔ＋ｍ^2ｔ＋ｍ３^1/2）^2／４（１＋ｍ^2）：ＱＭ＝．５６３０８８

　　ＰＦ＝ＱＭ，ＰＭ＝ＱＦ

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【３】正方形の分割

　こうしてＦＭ，ＰＮ，ＱＧを切ればよいのだが，厚手の正方形の板から切り出すほうが実際的であろう．その場合の寸法を示しておく．あらためて記号をふりなおして，この板をＡＢＣＤ，辺上にＰＱＲＳを以下のようにおく．

　　ＡＢ＝ＱＦ＋ＦＰ＝ＦＭ，．５７２１４５：．４２７８５５＝ｕ：１−ｕに内分する点をＰとする

　　ＢＣ＝２ＰＮ＝ＦＭ，中点をＱとする

　　ＣＤ＝ＰＭ＋ＭＱ＝ＦＭ，．５７２１４５：．４２７８５５＝ｕ：１−ｕに内分する点をＲとする

　　ＤＡ＝２ＱＧ＝ＦＭ，中点をＳとする

　このようにしてから，点Ｐと点Ｓを結び，線分ＰＳを．５０９０１５：．４９０９８５＝ｔ：１−ｔに内分する点Ｔをとる．点Ｔと点Ｑ，点Ｔと点Ｒと結べば正方形の分割ができあがる．

　各点の座標を

　　Ａ（０，１），Ｂ（０，０），Ｃ（１，０），Ｄ（１，１）

　　Ｐ（０，１−ｕ），Ｑ（．５，０），Ｒ（１，ｕ），Ｓ（．５，１）

　　ｕ＝．５７２１４５，ｔ＝．５０９０１５

と定めると

　　Ｔ（．５ｔ，１−ｕ（１−ｔ））

これらから各ピースの角度を計算することができる．Ｔにおける角度はすべて６０°である．

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【４】雑感

　解答から出発したので簡単に内分点を与えることはできたが，詳細までは思い至らない．デュドニーに訊ねたいのはいったいどうやってこの作図法を思いついたのかである．

　ところで，デュドニー分割では，正三角形の周は正方形の内部に移り，正方形の周は正三角形の内部の点だけから構成されている．この立体版の分割も考えることができる．すなわち，立体Ａの表面が立体Ｂの内部に移り，立体Ｂの表面が立体Ａの内部の点だけから構成されているというものである．これはデュドニー分割よりも難しいリバーシブル問題であるが，このような例として秋山仁先生の「キツネヘビ」があげられる．

　秋山先生は菱形十二面体と直方体の間の立体ハトメ返し，切頂八面体と直方体の間の立体ハトメ返しなど空間充填形同士のハトメ返しが作られ，講演ではそのような小道具を使って菱形十二面体，切頂八面体の体積を求めておられる．また，このとき多面体の形が変形するばかりでなく，菱形十二面体，切頂八面体の表面が直方体の内部に隠れることを利用して，黄色（キタキツネ）を緑（ヘビ）に変色させ，キタキツネが一瞬にしてヘビに飲み込まれる様子を表現している．

　コラム「連続回転する多面体の輪（その２）」で検討した立方体の環は立方体は６個でも８個でも連続回転することはできず，隣の面と入れ替わるところまでしか動かなかった（△←→▽，□←→◇）．そのときは連続回転という観点からしか調べなかったが，適当な稜が蝶番でつながれた８つの立方体は立方体（２×２×２）に折りたたむことができる．

　この折りたたみは輪にはならないものの繰り返してできるので，表の２４面を裏返すと裏の２４面が現れてくることを利用した観光地の写真を貼り付けてあるおみやげものもあるという．最も単純なリバーシブル多面体であると思われる．

　先日，秋山研究室を訪問した際に知ったことであるが，秋山先生はこのようなリバーシブルな等積変形多面体をすべて決定する試みをされている．もうひとつ驚かされたのは，多面体の任意の切り口あるいは展開図がすべて平面充填図形になる立体も研究されておられた．ｘｘｘをすべて決定するという試みは簡単ではないと思えるのだが，すでにある程度の結論は得られていたことをレポートして，本稿の結びとしたい．

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