軸に対してねじれの位置にある線分を回転してできる曲面は，回転双曲線である．つまり，双曲線を回転してできる鼓型の面である．

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［１］ｎ＝３のとき

　すなわち，正八面体の互いに平行な２面の重心を通る直線を軸として，この正八面体を回転させてできる立体の体積は

　　Ｈ＝｛１−１／３｝^(1/2)

　　ｒ＝１／√３

　　Ｖ＝πＨｒ^2｛２＋ｃｏｓπ／ｎ））／３

＝π√２／√３・（２＋１／２）／９

＝５π√６／５４

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［２］ｎ＝４のとき

　　Ｈ＝｛１−１／（２＋√２）｝^(1/2)

　　ｒ＝１／√２

　　Ｖ＝π／３・（１／√２）^1/2・１／２・（２＋√２／２）

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［３］ｎ＝５のとき，

　少し面倒な計算であるが，

　　Ｈ＝｛１−１／（２ｃｏｓπ／１０）^2｝^(1/2)＝（（５＋√５）／１０）^1/2

　　ｒ^2＝１／｛２ｓｉｎπ／５）^2＝（１＋√５）／１０

　　Ｖ＝π／３・（（５＋√５）／１０）^1/2・（１＋√５）／１０・（９＋√５）／４

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