アルキメデスの正ｎ反柱の高さの値Ｈの求め方は（その２５）にありますが，１辺の長さが１であるとき，

　　Ｈ＝｛１−１／（２ｃｏｓπ／２ｎ）^2｝^(1/2)

また，正ｎ角形面と正三角形面の二面角は

　　ａｒｃｃｏｓ（２Ｈ／√３）＋π／２

で与えられます．

　　　　　ｎ　　　　　高さ　　　　二面角

　　　　　３　　　　.816497　　　109.471

　　　　　４　　　　.840896　　　103.836

　　　　　５　　　　.850651　　　100.812

　　　　　６　　　　.8556　　　　98.8994

　　　　　７　　　　.858473　　　97.5722

　　　　　８　　　　.860296　　　96.5946

　　　　　９　　　　.861526　　　95.843

　　　　　10　　　　.862397　　　95.2466

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［Ｑ］アルキメデスの正ｎ反柱をｚ軸の周りに回転させて得られる立体の体積を求めよ．

［Ａ］ねじれの位置にある直線を回転させると回転双曲面となる（その２６）．

　側面の正三角形面の辺ＰＱ上に点Ｔをとり，

　　ＯＰ・ＯＱ＝ｒ^2ｃｏｓπ／ｎ

　　ＯＴ＝ｔＯＱ＋（１−ｔ）Ｏお

　　ＯＴ^2＝ｔ^2ＯＱ^2＋２ｔ（１−ｔ）ＯＰ・ＯＱ＋（１−ｔ）^2ＯＰ^2

　　ＯＰ^2＝ｒ^2，ＯＱ^2＝ｒ^2

より，

　　ＯＴ^2＝ｒ^2｛ｔ^2＋２ｔ（１−ｔ）ｃｏｓπ／ｎ＋（１−ｔ）^2）

＝ｒ^2（２（ｔ^2−ｔ）（１−ｃｏｓπ／ｎ）＋１）

　　Ｖ＝πＨ∫(0,1)ＯＴ^2ｄｔ

＝πＨｒ^2｛２（１／３−１／２）（１−ｃｏｓπ／ｎ）＋１｝

＝πＨｒ^2｛２＋ｃｏｓπ／ｎ））／３

　　Ｈ＝｛１−１／（２ｃｏｓπ／２ｎ）^2｝^(1/2)

　　ｒ＝１／｛２ｓｉｎ（π／ｎ）｝

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