多面体の展開図ではハサミがすべての頂点を通らなければ平面に広げることはできない．たとえば，立方体の辺に沿った展開図では８頂点を通らなければならず，そのためには７辺を切り離す必要がある．
１本の切れ込みを入れると展開図の２辺が得られるから，一般に四角柱の展開図は１４角形，三角錐の展開図は６角形，四角錐の展開図は８角形，重四角錐の展開図は１０角形になることがわかる．すなわち，頂点数Ｖの多面体の展開図の辺数ｅは
ｅ＝２（Ｖ−１）
となるのである．（実際に数えてみると，２種類ある正四面体の展開図ではｅ＝３，４，１１種類ある立方体の展開図ではｅ＝８，１０，１２，１１種類ある正八面体の展開図ではｅ＝６，７，８，９，１０が得られるが，それぞれｅ＝６，１４，１０が退化したものと考えることができる．）
逆にいえば，立方体の展開図（１４角形）にラベルａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ，ｆ，ｇをつけ，ラベルを共有する２本の辺を貼り合わせると立方体の表面になる．このようなラベルや矢印の付いた多角形領域のことを構成された図形の平面モデルと呼ぶ．
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【１】２次元多様体の分類定理（その１）
ゴム膜でできた長方形の４辺（または２辺）を適当に貼り合わせることを考えてみましょう．そして，長方形を時計回りに順に一周するようなラベルをつけることにします．
すると，１組の対辺だけを向きを保ったまま貼り合わせる操作はａ０ａ^(-1)０と書くことができます．ａ０ａ^(-1)０によって円環ができあがります．ａ０ａ０すなわち１組の対辺を向きを逆にして貼り合わせる操作によって，メビウスの帯ができあがります．円環の境界は２本の円周ですが，メビウスの帯の境界は１本の円周です．
同様に，ａｂｂ^(-1)ａ^(-1)からは球面，ａｂａ^(-1)ｂ^(-1)からは輪環面（トーラス），ａｂａｂ^(-1)からはクラインの壷，ａｂａｂからは射影平面が得られます．
クラインの壷と射影平面は３次元ユークリッド空間の中では描けませんが，４次元空間考えると自己交差なしに重ね合わせることができます．また，イメージするのは難しいのですが，射影平面はメビウスの帯と円板とを縁に沿って貼り合わせたものと同相です．
円環，球面，輪環面は表から裏に行くことはありませんが，メビウスの帯，クラインの壷，射影平面では縁を越えることなしに曲面の裏側にたどりつきます．こういう面を向きづけ不可能な曲面といいます．
これら６種類はすべて２次元多様体の例です．そして，コンパクトな２次元多様体はどんなものでも，円環，メビウスの帯，球面Ｓ，輪環面Ｔ，クラインの壷Ｋ，射影平面Ｐの６つのものを適当に連結和したものと同相になることが知られています．これが２次元多様体の分類定理ですが，その詳細については後回しにして，次に連結和の平面モデルについて考えてみます．
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【２】平面モデル
球面Ｓ，輪環面Ｔ，クラインの壷Ｋ，射影平面Ｐの平面モデルはいずれも４角形でしたが，たとえば，２つ穴トーラス：２Ｔ＝Ｔ＃Ｔの平面モデルは何角形になるでしょうか？
三角形分解定理（ラドー，１９２０年代）により，すべてのコンパクトな曲面は平面モデルで表現することができるのですが，２Ｔをａ，ｂ，ｃ，ｄというラベルの付いた曲線に沿って切り開くと８角形の平面モデルが得られます．
２つ穴トーラス面を真ん中で２つに分けると，トーラス面に穴のあいたものａｂａ^(-1)ｂ^(-1)ｘとｘｃｄｃ^(-1)ｄ^(-1)ができます．これらを切り開くとどちらも５角形となります．これをｘで２つつなぎ合わせると辺ｘは内部に吸収され，８角形になるというわけです．
同様に
３Ｔ → １２角形
４Ｔ → １６角形
・・・・・・・・・・・・
１００Ｔ → ４００角形
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【３】２次元多様体の分類定理（その２）
基本的な曲面（球面Ｓ，輪環面Ｔ，クラインの壷Ｋ，射影平面Ｐ）の組み合わせを標準形曲面と呼びます．ここでは標準形曲面Ｓ，ｎＴ（ｎ≧１），ｍＰ（ｍ≧１）を取り扱うことにします．ＳとｎＴは向き付け可能，ｍＰは向き付け不可能ですから，Ｓだけが孤立していますが，Ｓを０Ｔと約束するとｎＴ（ｎ≧０）は向き付け可能な標準形曲面となり，好都合です．
また，クラインの壷Ｋは２つの射影平面の連結和２Ｐ＝Ｐ＃Ｐと同相です．Ｔ＃ＰはＫ＃Ｐと同相であり，したがって３Ｐとも同相になります．すなわち，クラインの壷Ｋは射影平面Ｐをつけることによってみかけ上そのねじれが解消され，トーラスＴに射影平面Ｐがくっついた形になってしまうことは驚くべきことと考えられます．
したがって，ｎＴ，ｍＰを扱えばよいことになるのですが，以下にコンパクトな曲面の分類定理をまとめておきます．
［１］向き付け可能なコンパクトな曲面はｍＴ（ｍ≧０）と同相である．ただし，０Ｔは球面Ｓを意味するものとする．
［２］向き付け不可能なコンパクトな曲面はｍＰ（ｍ≧１）と同相である．
［３］これ以外の向き付け不可能なコンパクトな曲面は，Ｐ＃ｍＴ，Ｋ＃ｍＴ（ｍ≧０）のような向き付け不可能な曲面と同相である．Ｐ＃ｍＴ，Ｋ＃ｍＴを第２標準形曲面と呼ぶ．
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【４】オイラー標数
ここではコンパクトな曲面の不変量として，オイラー標数を取り上げます．
χ（Ｓ）＝２，χ（Ｔ）＝０，χ（Ｋ）＝０，χ（Ｐ）＝１
χ（ｍＴ）＝２−２ｍ，χ（ｍＰ）＝２−ｍ
χ（Ｋ＃ｍＴ）＝−２ｍ，χ（Ｐ＃ｍＴ）＝１−２ｍ
２つのコンパクトな曲面が同相となるための必要十分条件は
［１］同じオイラー標数をもつ
かつ
［２］ともに向き付け可能かまたはともに向き付け不可能である
ことです．このことから５Ｔと７Ｔは決して同相にはならないし，６７Ｐと４５Ｐも決して同相にはならないことが示されます．
Ｋは２Ｐと同相なので，向き付け不可能なコンパクトな曲面はｍ（≧０）個の穴をもつトーラスに１個あるいは２個の交差帽をつけたものと見ることができます．ハンドルを取り付けるには開円板を２個，交差帽を取り付けるには取り除く必要がありますから，種数ｍは途中に現れる穴の個数，最後にできあがる曲面のオイラー標数は２から取り除いた開円板の個数を引いた数に等しいことがわかります．
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【５】彩色数とヒーウッドの公式
オイラーの公式は単純ですが，要はその使い方であって，たとえば，多面体には３角形か４角形面か５角形面が少なくとも１つなければならないことは簡単に証明できます．
どの領域も少なくとも６つの領域で囲まれていると仮定すると
６ｆ≦２ｅ
また，このような問題を解くにあたっては，すべての交点で３本の境界線が会している地図だけを考えればよいので，
３ｖ≦２ｅ
これらをオイラーの公式に代入すると
ｖ−ｅ＋ｆ≦１／３ｅ−ｅ＋２／３ｅ＝０≠２
となって矛盾を生じます．したがって，５個以下の隣接領域しかもたない領域が少なくともひとつあることになります．
平面や球面上に描かれた地図に関するオイラーの公式は
ｖ−ｅ＋ｆ＝２
でしたが，トーラス上の地図に関するオイラーの公式は
ｖ−ｅ＋ｆ＝０
です．
トーラスでは６個以下の隣接領域しかもたない領域が少なくともひとつあることを証明するために，どの領域も少なくとも７つの領域で囲まれていると仮定すると
７ｆ≦２ｅ
また，３ｖ≦２ｅですから
ｖ−ｅ＋ｆ≦２／７ｅ−ｅ＋２／３ｅ＝−１／２１ｅ≠０
という矛盾を引き出すことができます．
したがって，トーラスでは６個以下の隣接領域しかもたない領域が少なくともひとつあることになります．このことを利用すると，
「トーラス上のどんな地図でも７色で塗り分けられる」
ことが証明されます．ヒーウッドは実際に７色を必要とする例もあげています．
これを証明したヒーウッドはさらにｇ個の穴があいたトーラス上の地図に関するオイラーの公式
ｖ−ｅ＋ｆ＝２−２ｇ
を利用して
(1)２個の穴があいているトーラス上の地図はどれも８色で塗り分けられる
(2)３個の穴があいているトーラス上の地図はどれも９色で塗り分けられる
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
(3)１０個の穴があいているトーラス上の地図はどれも１４色で塗り分けられる
に引き続いて，
(4)ｇ個の穴があいているトーラス上の地図はどれもＨ（ｇ）色で塗り分けられる
Ｈ（ｇ）＝［｛７＋√（１＋４８ｇ）｝／２］
を証明しました．
［・］はガウス記号で，
ｇ：１，２，３， ４， ５， ６， ７， ８， ９，１０
Ｈ：７，８，９，１０，１１，１２，１２，１３，１３，１４
となるのですが，しかし，ヒーウッドはｇ≧２に対してそのような地図が実在することを示すことはできませんでした．そのため，この問題は「ヒーウッド予想」と呼ばれることになりました．
１９６８年，リンゲルとヤングスは，ｇ個の穴のあいているトーラス上にこれだけの色を必要とする地図が存在することを証明したのですが，ヒーウッド予想（１８９０年）が最終的に証明されるまでには７７年もの歳月が必要だったというわけです．
以下，
Ｈ（ｇ）＝［｛７＋√（１＋４８ｇ）｝／２］
と同値な
Ｈ（χ）＝［｛７＋√（４９−２４χ）｝／２］
について紹介すると，面上の多角形分割で，面数Ｆ，頂点数Ｖ，辺数Ｅとするとき，オイラー標数
χ＝Ｆ＋Ｖ−Ｅ
の閉曲面（向きづけられるか否かは不問）上の地図は，辺で境される国を別の色で塗るという条件下において，ヒーウッドの数
Ｈ（χ）＝［｛７＋√（４９−２４χ）｝／２］ （［・］は切り捨て）
色あれば塗り分けられます（十分条件）．
［注１］この公式は本来χ＜０の場合にのみ有効である．ただし結果的にχ＝１（射影平面）とχ＝０で向きづけられる曲面（輪環面）では必要十分な正しい値（それぞれ６と７）を与える．χ＝２（球面）のときには４を与えるが，これは「偶然の一致」であって四色問題の解ではない（∵上の公式を導くときχ＜０という条件を本質的に使っている）．
［注２］これは十分条件であって，必要条件（どうしてもそれだけの色がいる）ではない．結果的にはχ＝０で向きづけられない曲面（クラインの壷）以外の曲面ではすべて正しく必要十分な色数を与えている．クラインの壷は唯一の例外で公式の値は７だが，実は６色で必要十分である．必要性は部分的（χの特別な値の例）には１９世紀末から知られていたが，最終的にはヤングスとリンゲルとが共同研究して１９６８年に完全に証明された．
実際の彩色数は
Ｎ（Ｓ）＝４，Ｎ（Ｐ）＝６，Ｎ（Ｔ）＝７，Ｎ（Ｋ）＝６
なのですが，ヒーウッド数は
Ｈ（Ｓ）＝４，Ｈ（Ｐ）＝６，Ｈ（Ｔ）＝７，Ｈ（Ｋ）＝７
となり，クラインの壷では一致しません．しかし，クラインの壷以外のすべての向き付け可能・不可能な曲面に対して，彩色数はヒーウッドの公式で与えられます．たとえば，
χ（３Ｐ）＝−１ → Ｈ（３Ｐ）＝７
χ（２Ｔ／４Ｐ）＝−２ → Ｈ（２Ｔ／４Ｐ）＝８
χ（５Ｐ）＝−３ → Ｈ（５Ｐ）＝９
χ（３Ｔ／６Ｐ）＝−４ → Ｈ（３Ｔ／６Ｐ）＝９
χ（７Ｐ）＝−５ → Ｈ（７Ｐ）＝１０
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【６】四色問題
平面上の四色問題では，地図が平面ではなく球面上に描かれているものとすると，外部領域は他の領域と何の違いもないことになります．したがって，外部領域を塗っても塗らなくても構わないことになり，平面上の四色問題は球面上の四色問題と等価と考えることができます．
ヒーウッドは五色定理を鮮やかに証明できても，四色定理を証明することはできませんでした．したがって，平面・球面上の四色問題よりも先に，トーラス上の地図の塗り分けには７色必要であることが証明されたことになります．
ヒーウッドの式はｇが正の数の場合にしか適用できないのですが，仮にｇ＝０を代入するとＨ（０）＝４となって，穴のあいていないトーラスすなわち球の表面に置かれた地図を塗り分けるために必要な色の数を正しく導き出すことができます．しかし，残念ながらこれは偶然の一致であり，ヒーウッド予想の証明から四色定理を導くことはできません．
大きい種数ｇに対するヒーウッドの公式は四色問題が証明されるよりもかなり前に証明されているのですが，種数０の場合，つまり平面的集合の場合が最も難しいという事実は注目すべき事です．
四色問題の証明では，地図を電気回路とみなして
４ｆ2＋３ｆ3＋２ｆ4＋ｆ5−ｆ7−２ｆ8−３ｆ9−・・・＝１２
の条件の下の放電（電荷の移動）に帰着させる（放電法）のですが，この手続きにはどうしてもコンピュータが必要になりました．
アペルとハーケンの後も放電法の改良が続けられ，１９９４年，ロバートソン，サンダース，シーモア，トーマスの４人が新たな１章をつけ加えました．しかし，これとて基本的にはアペル，ハーケンと同じコンピュータ路線なのです．確かにコンピュータを使った証明を美しいあるいはエレガントな数学と呼ぶことはできないかもしれません．コンピュータを使わない証明にはこれまでにないようなまったく新しいアイディアが必要になると思われるのですが，そうしたアイディアは今日もなお登場していないのです．
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［参］コラム「オイラーの公式と四色定理」
コラム「ヒーウッドの公式について」