高次元ＨＣＰ結晶の双対は

　　｛３，３｝（１０１）→ｆ＝（１２，２４，１４）

　　｛３，３，３｝（１００１）→ｆ＝（２０，６０，７０，３０）

　　｛３，３，３，３｝（１０００１）→ｆ＝（３０，１２０，２１０，１８０，６２）

　　｛３，３，３，３，３｝（１００００１）→ｆ＝（４２，２１０，４９０，６３０，４３４，１２６）

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［１］立方八面体｛３，３｝（１０１）の場合は

　　｛３｝（１０）→頂点数３

　　｛｝（１）×｛｝（１）→頂点数４

　　｛３｝（０１）→頂点数３

［２］｛３，３，３｝（１００１）の場合

　　｛３，３｝（００１）→頂点数４

　　｛３｝（０１）×｛３｝｛１｝→頂点数６

　　｛｝（１）×｛３｝｛１０｝→頂点数６

｛３，３｝（１００）→頂点数４

［３］｛３，３，３，３｝（１０００１）の場合

　　｛３，３，３｝（０００１）→頂点数５

｛３，３｝（００１）｛｝（１）→頂点数８

｛３｝（０１）×｛３｝（１０）→頂点数９

｛｝（１）×｛３｝（１００）→頂点数８

｛３｝（１０００）→頂点数５

［４］｛３，３，３，３，３｝（１００００１）の場合

　　｛３，３，３，３｝（００００１）→頂点数６

　　｛３，３，３｝（０００１）×｛｝（１）→頂点数１０

　　｛３，３｝（００１）×｛３｝（１０）→頂点数１２

　　｛３｝（０１）×｛３｝（１００）→頂点数１２

　　｛｝（１）×｛３｝（１０００）→頂点数１０

　　｛３，３，３，３｝（１００００）→頂点数６

［５］｛３，３，３，３，３，３｝（１０００００１）の場合

　　｛３，３，３，３，３｝（０００００１）→頂点数７

　　｛３，３，３，３｝（００００１）×｛｝（１）→頂点数１２

　　｛３，３，３｝（０００１）×｛３｝（１０）→頂点数１５

　　｛３，３｝（００１）×｛３，３｝（１００）→頂点数１６

　　｛３｝（０１）×｛３，３，３｝（１０００）→頂点数１５

　　｛｝（１）×｛３，３，３，３｝（１００００）→頂点数１２

｛３，３，３，３，３｝（１０００００）→頂点数７

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　最大頂点数は

［１］奇数次元では（ｎ＋１）（ｎ＋１）／４

［２］偶数次元ではｎ（ｎ＋２）／４

　以上のことから，頂点周りに集まる多面体数は

［１］３次元では６以下

［２］４次元では８以下

［３］他の奇数次元では（ｎ＋１）^2／４＋１以下

［４］他の偶数次元ではｎ（ｎ＋２）／４＋１以下

になると思われる．

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