パスカルの三角形のｎ行の奇数と偶数の割合を計算する．ｎ→∞のとき，奇数と偶数の比は０に近づく．

　もっと正確の評価すると，はじめのｎ行に現れる奇数の個数をＰnとすると

　　０．８１２＜Ｐn／ｎ^log2/log3＜１

となるのだそうだ．

　　０．８１２・ｎ^log2/log3＜Ｐn＜ｎ^log2/log3

　log2/log3

はフラクタル次元である．

　はじめのｎ行に現れる奇数と偶数の合計はｎ（ｎ＋１）／２≒ｎ^2／２

であるから，奇数の比率Ｑnは

　　１．６２４・ｎ^log2/log3-2＜Ｑn＜２・ｎ^log2/log3-2

となって，はじめのｎ行でみてもｎ→∞のとき，奇数と偶数の比は０に近づくのである．

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【１】シェルピンスキーの三角形とパスカルの三角形

　係数が奇数である場合にそのセルを黒，偶数である場合にそのセルを白くするとセルオートマトンの規則９０

　　Ｃi(t+1)＝Ｃi-1(t)＋Ｃi+1(t)　　（ｍｏｄ２）

で与えられるようなネスト型の三角形パターンを生成する．このパターンはシェルピンスキーの三角形と呼ばれるモザイク模様である．

　シェルピンスキーの三角形はフラクタル図形で，正三角形の各辺の中点をつないで，４つの小正三角形に分割し、真ん中を取り去り，残った３つの正三角形を同じように４つに分割して各々真ん中の三角形を取り去って，また分割していく動作を無限に繰り返してできる図形である．

　ｎ＝２^k−１，すなわち，１，３，８，１５，３１，・・・５，のとき，nＣmは奇数である段が出来あがる．すると，

　　n+1Ｃm＝nＣm-1＋nＣm

により，ｎ＝２^kのとき，nＣmは偶数となる．

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　シェルピンスキーがこの三角形を発見したのは１９１５年である．この事実は，パスカルの三角形にはまだ新たな発見があり得ることを示している．

　係数が３で割り切れないとき場合にそのセルを黒くする，係数が４で割り切れないとき場合にそのセルを黒くする，係数が５で割り切れないとき場合にそのセルを黒くする，・・・という作業を続けてた場合も左右対称なモザイク模様が現れる．

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