今回のコラムではフルヴィッツ・藤原曲線を対称軸の周りで回転させた回転体の体積を求めてみることにします．

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【１】正方形の内転形

　正方形の内転形となるフルヴィッツ・藤原曲線の接線極座標における方程式は

　　ｐ（ｕ）＝ａ＋ｂｃｏｓ（３ｕ）

で表されます．

　　ｐ’（ｕ）＝−３ｂｓｉｎ（３ｕ）

　　ｐ”（ｕ）＝−９ｂｃｏｓ（３ｕ）

　　ρ（ｕ）＝ｐ（ｕ）＋ｐ”（ｕ）＝ａ−８ｂｃｏｓ（３ｕ）≧０

より，ａ＝８ｂとおきます．

　　ｐ（ｕ）＝８ｂ＋ｂｃｏｓ（３ｕ）

　また，一定の幅１をもつという所与の条件

　　ｐ（ｕ）＋ｐ（ｕ＋π）＝１６ｂ＝１，ｂ＝１／１６，ａ＝１／２

より

　　ｐ（ｕ）＝１／２（１＋１／８ｃｏｓ（３ｕ））

で与えられます．

　　ｐ’（ｕ）＝−３／１６ｓｉｎ（３ｕ）

　　ｐ”（ｕ）＝−９／１６ｃｏｓ（３ｕ）

　ここで，

　　ｘ＝ｐ（ｕ）ｃｏｓ（ｕ）−ｐ’（ｕ）ｓｉｎ（ｕ）

　　ｙ＝ｐ（ｕ）ｓｉｎ（ｕ）＋ｐ’（ｕ）ｃｏｓ（ｕ）

　　ｘ’（ｕ）＝−（ｐ（ｕ）＋ｐ”（ｕ））ｓｉｎ（ｕ）

　　ｙ’（ｕ）＝（ｐ（ｕ）＋ｐ”（ｕ））ｃｏｓ（ｕ）

　　Ｖ＝π∫(9/16,-7/16)ｙ^2ｄｘ

　　　＝π∫(0,π)（ｐ（ｕ）ｓｉｎ（ｕ）＋ｐ’（ｕ）ｃｏｓ（ｕ））^2（ｐ（ｕ）＋ｐ”（ｕ））ｓｉｎ（ｕ）ｄｕ

　この問題の計算方法を示すのは簡単ですが，数式処理ソフトを用いずに手計算で求めることはかなり大変なので遣り残しておりました．次節では阪本ひろむ氏に計算してもらった結果を示します．

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【２】フルヴィッツ・藤原曲線の計量

　フルヴィッツ・藤原曲線の回転体の体積Ｖ，面積Ｓ，周長Ｌを求め，ルーローの三角形の場合と比較してみます．

［１］フルヴィッツ・藤原曲線の場合

　　Ｖ＝π∫(-7/16,9/16)ｙ^2ｄｘ

　　　＝π∫(0,π)（ｐ（ｕ）ｓｉｎ（ｕ）＋ｐ’（ｕ）ｃｏｓ（ｕ））^2（ｐ（ｕ）＋ｐ”（ｕ））ｓｉｎ（ｕ）ｄｕ

　　　＝１６π／１０５＝０．４７８７１８

　　Ｓ＝２∫(-7/16,9/16)ｙｄｘ＝２∫(0,π)（ｐ（ｕ）ｓｉｎ（ｕ）＋ｐ’（ｕ）ｃｏｓ（ｕ））（ｐ（ｕ）＋ｐ”（ｕ））ｓｉｎ（ｕ）ｄｕ

　　　＝１５π／６４＝０．７３６３１

　　Ｌ＝２∫(0,π)（ｘ’^2＋ｙ’^2）^1/2ｄｕ

　　　＝２∫(0,π)（ｐ（ｕ）＋ｐ”（ｕ））ｄｕ＝２∫(0,π)ρ（ｕ）ｄｕ

　　　＝π＝３．１４１５９

［２］ルーローの三角形の場合

　　Ｖ＝π（２／３−１／２ａｒｃｓｉｎ√３／２）

　　　＝π（２／３−π／６）＝０．４４９４６２

　　Ｓ＝（π−√３）／２＝０．７０４７７

　　Ｌ＝π＝３．１４１５９

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【３】反例？

　正方形の内転形の周長はすべて等しく，また，面積最小の内転形はルーローの三角形であることが証明されています．フルヴィッツ・藤原曲線の回転体の体積はルーローの三角形の回転体の体積よりも大きいのですが，周長Ｌが一定のとき

　　ｙ≧０，Ｓ＝２∫ｙｄｘ，Ｖ＝π∫ｙ^2ｄｘ

　　Ｓ1＞Ｓ2　→　Ｖ1＞Ｖ2

の反例：Ｖ1＜Ｖ2となる卵形線は存在しないのでしょうか？

　　（Ｖ1−Ｖ2）／π＝∫ｙ1^2−∫ｙ2^2＝∫（ｙ1^2−ｙ2^2）＝∫（ｙ1＋ｙ2）（ｙ1−ｙ2）

ここで，ｍ＝ｍａｘ（ｙ1＋ｙ2）≧０とおくと

　　（Ｖ1−Ｖ2）／π≦ｍ∫（ｙ1−ｙ2）＝ｍ（∫ｙ1−∫ｙ2）＝ｍ（Ｓ1−Ｓ2）

より反例は存在しないと考えられます．

　このことはシュワルツの不等式を用いても証明できるかもしれませんので，参考までに掲げておきます．

［定理］２乗可積分な関数ｆ，ｇに対して，以下の不等式が成立する．

　　　（∫ｆ^2∫ｇ^2）^(1/2)≧∫ｆｇ

（証明）

　　∫（ｔｆ−ｇ）^2ｄｘ＝ｔ^2∫ｆ^2−２ｔ∫ｆｇ＋∫ｇ^2≧０

　したがって，ｔを変数とする２次式の判別式

　　Ｄ＝（∫ｆｇ）^2−（∫ｆ^2∫ｇ^2）≦０

　等号はｇ＝ｃｆ　　　（ｃ：定数）のとき

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