【１】相貫２円柱

　ｚ軸に垂直な断面を調べてみると，丸い円柱から切り出されているにもかかわらず，切り口は正方形（１辺の長さ２（ｒ^2−ｔ^2）^1/2）となる．つまり，この立体はごく薄い正方形の層が無数に積み重なったものなのである．

　　Ｖ＝４∫(-r,r)（ｒ^2−ｔ^2）ｄｔ＝１６ｒ^3／３

　アルキメデスは円柱の直径をｄとするとその体積は

　　２／３ｄ^3

になることを知っていたようである．

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【２】相貫３円柱

（Ａ）半径が等しい３つの円柱を中心軸が直交するように相貫させたとき，その共通部分は立方八面体の双対である菱形１２面体を丸く膨らましたような形で１２の曲面で囲まれた立体になる．

　菱形１２面体は立方体と６つの四角錐に分解することができるから，この形はひとつの立方体と６つの膨らました四角錐に分解することができる．

　　Ｖ＝６・４∫(r/√2,r)（ｒ^2−ｔ^2）ｄｔ＋（ｒ√２）^3＝（１６−８√２）^3ｒ^3

　その体積は円柱の直径をｄとすると

　　（２−√２）ｄ^3

になる．

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