【１】オイラーの多面体定理と星形正多面体

　多面体の頂点，辺，面の数をそれぞれｖ，ｅ，ｆとすると，

　　ｐｆ＝２ｅ，ｑｖ＝２ｅ

が成り立ちます．さらに，ｖ＋ｆ＝ｅ＋２（オイラーの多面体定理）が成り立ちますから辺の数ｅは

　　１／ｅ＝１／ｐ＋１／ｑ−１／２

　　ｖ＝４ｐ／（２ｐ＋２ｑ−ｐｑ），

　　ｅ＝２ｐｑ／（２ｐ＋２ｑ−ｐｑ），

　　ｆ＝４ｑ／（２ｐ＋２ｑ−ｐｑ）

となります．

　オイラーは晩年の１７年間はまったくの盲目でしたが，それにもかかわらず非常に多くの定理，公式を発見していて，量（ｖ−ｅ＋ｆ）はオイラー数と呼ばれます．また，多面体の示性数ｇは，ｇ＝１−（ｆ−ｅ＋ｖ）／２で定義されます．

　凹型正多面体まで含めると，正多面体は全部で９種類あり，プラトンの立体と呼ばれる凸型５種類の他の４種類は，星形正多面体（ケプラーがみつけた星形小十二面体，大十二面体と約２００年後にポアンソがつけ加えた星形大二十面体，大二十面体の４種類）です．星形正多面体は４種類しかないことはコーシーが示しています．

　オイラーの多面体定理より，凸多面体に対してはｇ＝０となります．ところが，４種類の星形正多面体のうち，２種類はｇ＝０ですが，残りの２種類はｇ＝４になります．ｇ＝４はトポロジカルにいえば穴が４つあるドーナツと同一ですから，ｇ＝０のみを星形正多面体と呼ぶべきだとの主張もあります．

　なお，同じ大きさの正４面体２個による相貫体＜ケプラーの８角星＞はダビデの星の３次元版ですが，星形正多面体には加えません．さらに，一様多面体（準正多面体の星形化）は７５種類，ザルガラー多面体（すべての面が正多角形である凸多面体）は正多面体，準正多面体を除くと９２種類存在します．

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【２】４次元版

　４次元正多胞体｛ｐ，ｑ，ｒ｝についても［１］と同類の式が成り立ちます．

　　ｖ＝４ｐ／（２ｐ＋２ｑ−ｐｑ），

　　ｅ＝２ｐｑ／（２ｐ＋２ｑ−ｐｑ），

　　ｆ＝４ｑ／（２ｐ＋２ｑ−ｐｑ）

のｐ→ｑ，ｑ→ｒと置き換えることによって，

　　ｖ’＝４ｑ／（２ｑ＋２ｒ−ｑｒ），

　　ｅ’＝２ｑｒ／（２ｑ＋２ｒ−ｑｒ），

　　ｆ’＝４ｒ／（２ｑ＋２ｒ−ｑｒ）

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［まとめ］ｖ’，ｅ’，ｆ’はそれぞれ射・葉・吊で，頂点に集まる１・２・３次元面数であると思われる．

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