■ミンコフスキーの舗石定理（その２）
２次元充填の基本形は６角形，３次元充填の基本形は１４面体である．それでは４次元，５次元，・・・，ｎ次元での空間充填多面体の基本形はどうなるのだろう？ どのような形になるのかを知る人はたとえいたとしても非常に少ないであろう．そこで（証明抜きで）次元論の敷石定理について解説する．
結論を先にいうと，「ｎ次元の舗石定理」
［１］ｎ次元空間充填では，各頂点の周りに少なくともｎ＋１個の多面体が集まる（ルベーグ）．
［２］ｎ＋１個のとき，空間充填の基本細胞の面数は最大２（２^n−１）個である（ミンコフスキー）．
すなわち，平行多面体の最多面数は２次元では６角形，３次元では１４面体，４次元では３０胞体，５次元では６２房体となるのである．
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【１】空間分割と１４面体
空間分割の話にはいる前に，平面分割の幾何学的性質を調べてみよう．レンガのブロック積みを考える．３つのレンガが１点で出会うように平面を敷き詰めると，すべてのレンガは周りの６つのレンガに接することがわかる．お城の石垣でもタマネギの細胞でもこのような原則が成り立っていて，このことから平面充填図形の基本形は６角形であるといえる．６角形の１組の対辺を退化させると４角形になるが，それは６角形から２次的に派生したものと考えることができるだろう．
次に，空間分割のブロックモデルを考える．１段目を敷き詰めたあと，２段目も１段目と同じように敷き詰めるが，１段目のレンガのすべての頂点を２段目のレンガで覆うようにずらして積み重ねると，１段目のレンガの上には４つのレンガが載ることになる．３段目も同様に行うと同じ段に６，上の段に４，下の段にも４で合計１４のレンガに接することになる．このことからレンガは元々１４面体であって，それが普通のレンガの形に圧縮されたものと考えることができる．
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【２】空間分割漸化式
さて，［１］をもとにして高次元空間分割について考えてみよう．［１］で述べていることを漸化式に直してみると，
Ｍ2＝６
Ｍ3＝Ｍ2＋２・４＝Ｍ2＋２・２^2
Ｍ4＝Ｍ3＋２・２^3＝３０
Ｍ5＝Ｍ4＋２・２^4＝６２
一般に
Ｍn−Ｍn-1＝２（Ｍn-1−Ｍn-2）
より，
Ｍn＝２（２^n−１）
が得られる．
すなわち，４次元では同じ段に１４，上の段に８，下の段にも８で合計３０，５次元では同じ段に３０，上の段に１６，下の段にも１６で合計６２のレンガに接することになるというわけである．ｎ次元でも２次元，３次元同様のレンガのブロック積みを考えればうまくいくのである．
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【３】ヒントンの単体ブロックモデル
ｎ次元空間充填ではどの頂点でも最低ｎ＋１個の多面体が出会わなければならない（ルベーグの舗石定理）．すべての頂点でｎ＋１個の多面体が出会う場合，ｎ次元ボロノイ細胞の１個の頂点の周りにｎ個のｎ−１次元面が集まることがわかる．すなわち，単純多面体である．
このことからｎ次元空間充填ではｎ次元立方体ではなく，ｎ次元正単体をイメージしたほうがわかりやすくなる．２次元の場合は正三角形を切頂した図形が正六角形になり，３次元空間でいえば，立方体を直接切頂して切頂八面体を作るのではなく，正四面体を切稜・切頂した図形として切頂八面体を作る操作を考えれば理解しやすくなるだろう．
実際，切頂八面体は正方形面を上にして置くと立方体（あるいは正八面体）を切頂した図形にみえるが，正六角形面を上にして置くと正四面体を切稜・切頂した図形になっていることがわかる．同様に，４次元ではこの操作により頂点は切頂八面体，辺は六角柱の３０胞体となる．このように，４次元の空間充填の基本形は３０胞体となるのだが，一般にｎ次元空間の空間充填多胞体は正単体を切稜・切頂した２（２^n−１）胞体となるというのがヒントンモデルである．
ヒントンモデルを定量的に表現すると，ｎ次元空間の空間充填多胞体を正（ｎ＋１）胞体から構成する場合，頂点数はｎ＋１個，辺数はｎ（ｎ＋１）／２個，面数は（ｎ−１）ｎ（ｎ＋１）／６個，・・・．
Σ(k=0~n-1)（ｎ＋１，ｋ＋１）＝２^(n+1)−２
すなわち，構成要素数は計２（２^n−１）個であり，そしてこれが圧縮されると構成要素の数だけ（ｎ−１）次元面ができる．
すなわち，このモデルによると，４次元では同じ段に１０＋１０，上の段に５，下の段にも５で合計３０，５次元では同じ段に１５＋２０＋１５，上の段に６，下の段にも６で合計６２のレンガに接することになるというわけである．
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【４】雑感
ｎ次元の空間充填図形が立方格子を基にして導出されるという考え方からすれば，ヒントンの考察は頗る意外なものであろう．ヒントンの考察「はじめに単体ありき」は答えとしてはあっているのだが，自然な発想「はじめに格子ありき」とかけ離れていて，意外すぎて（少なくとも私にとっては）心理的抵抗感が大きく，面食らうばかりである．
ミンコフスキーの定理の簡単な証明について述べたが，２次元，３次元同様のレンガのブロック積みモデルは破綻していなかったのである．
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