ｎ次元空間充填多面体：２（２^n−１），２^n＋２ｎに対して，ｎ→∞の極限では，スターリングの公式より球近似度が８／πｅとなることを示したことがあるが，一般的に，球近似度は等周比で与えられる．

　平面凸集合に関して，周の長さＬが一定で面積Ａが最大の図形（面積が一定で周の最小な図形）は円であるという事実はよく知られています．そのことは

　　Ｌ^2≧４πＡ

という不等式（等周不等式）で表現されます．等号は円のときだけ成立します．

　同様に，３次元凸集合に対し，表面積をＳ，体積をＶとするとＳ^3≧３６πＶ^2が成り立ちます．等号成立は球のときだけで，すべての立体中で球が表面積に対して最大の体積をもっています．立体図形のＳ^3／Ｖ^2は平面図形のＬ^2／Ａの相当していて，等周比あるいは等周定数と呼ばれます．

　等周不等式

　　Ｌ^2≧４πＡ，Ｓ^3≧３６πＶ^2

をどんな次元にも適用できるように公式化しましたが，それによると

　　ｎ次元表面積^n≧ｎ次元体積^(n-1)ｎ^nπ^(n/2)/Γ(n/2+1)

等号は超球のときに限ります．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【１】置換多面体の場合

　　Ｖ0＝１，Ｖ1＝１，Λ0＝１，Λ1＝１

とする．

　置換多面体の体積公式（角錐分解公式）は

　　Ｖn＝ΣＮjＨj／ｎ・Ｖn-j-1Ｖj　　（ｊ＝０〜ｎ−１）

　　Ｎk^(n)＝n+1Ｃk+1

　　Ｈk＝ｈk／２｜ｘ1−ａ1｜＝ｈk／｜１−ｙ1｜

＝｛（ｋ＋１）（ｎ−ｋ）（ｎ＋１）／８｝^1/2

で与えられる．これらはimplicitな形であって，explicitな形

　　Ｖn＝（ｎ＋１）^n-1/2／２^n/2

もあることを申し添えておきたい．

　一方，表面積は

　　Ｓn＝ΣＮj・Ｖn-j-1Ｖj　　（ｊ＝０〜ｎ−１）

であるから，等周比は

　　Ｓn^n／Ｖn^n-1

ということになる．

　球と比較するするには，

　　ｎ^nπ^(n/2)/Γ(n/2+1)

との比をとることになる．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【２】置換多面体の正軸体版の場合

　その正軸体版の体積は

　　Λn＝ΣＮjＨj／ｎ・Λn-j-1Ｖj　　（ｊ＝０〜ｎ−１）

　　Ｎk^(n)＝２^(k+1)nＣk+1

　　Ｈk＝（１＋ｎ√２−（ｋ＋２）／√２）・√（ｋ＋１）／２

＝（１＋ｎ√２−（ｋ＋２）√２／２）・√（ｋ＋１）／２

＝（１＋（ｎ−１−ｋ／２）√２）・√（ｋ＋１）／２

で与えられる．

　等周比は［１］と同様に計算される．表面積は

　　Ｓn＝ΣＮj・Λn-j-1Ｖj　　（ｊ＝０〜ｎ−１）

であるから，等周比は

　　Ｓn^n／Λn^n-1

ということになる．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝