■ねじれ重角錐の計量（その２）
１４面体というと，ケルビンの１４面体，ウィリアムスの１４面体の他に，重角錐台型（４^12６^2）やねじれ重角錐台型（５^12６^2）も考えられます．ねじれ重角錐台型はケルビンの１４面体と区別するために「ゴールドバーグの１４面体」と呼ばれています．ゴールドバーグの１４面体はspace fillerではありませんが，ウィア・フェランの１４面体にでてくる多面体です．
ｆ＝１４のときメディアル多面体は５^12６^2型のねじれ重角錐台（truncated double skew pyramid）となります．もし，ゴールドバーグの予想が正しければ，ｆ＝１４のときの等周比の最小値はケルビンの１４面体（４^6６^8）ではなく，ゴールドバーグの１４面体（５^12６^2）によって達成されることになります．
M. Goldberg: The isoperimetric problem for polyhedra, Tohoku Math. J. 40, 226-236(1935)
によれば
等周比
４^6６^8 １５０．１２３
５^12６^2 １４３．８９ （軸の傾き：２６°５０′）
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【１】ゴールドバーグの１４面体の計量
５^12６^2型のねじれ重角錐台は一意には決まりません．単位球に外接し，さらに球の中心と各面の重心を結ぶ直線がその面と直交するという条件をつけてみましょう．
ねじれ重角錐（ｎ^2５^2n）の五角形の頂点をＡ，辺ＣＤが正ｎ角形と組み合わさる辺とします．そして，空間座標を
Ａ（０，ｙ3，ｚ3）
Ｂ（−ｘ2，ｙ2，ｚ2）
Ｃ（−ｘ1，ｙ1，１）
Ｄ（ｘ1，ｙ1，１）
Ｅ（ｘ2，ｙ2，ｚ2）
また，放射線の中心を
Ｆ（０，０，ｚ0）にとります（ｚ3＝−ｚ2）．
５角形面の重心は
Ｇ（０，Ｙ，Ｚ）
Ｙ＝（２ｙ1＋２ｙ2＋ｙ3）／５，Ｚ＝（２ｚ1＋２ｚ2＋ｚ3）／５
で与えられます．
ここで∠ＯＦＢ＝θとすると
ｙ1／（ｚ0−１）＝ｙ2／（ｚ0−ｚ2）＝ｙ3／（ｚ0−ｚ3）
＝Ｙ／（ｚ0−Ｚ）＝Ｚ／Ｙ＝（ｙ2＋ｙ3）／２ｚ0＝ｔａｎθ
ｚ0＝１／ｓｉｎθ，Ｙ＝ｃｏｓθ，Ｚ＝ｓｉｎθ
また，
ｘ1／ｙ1＝ｘ2／ｙ2＝ｔａｎ（π／ｎ）
ｘ2／（ｙ2＋ｙ3）＝ｔａｎ（π／２ｎ）
さらに
ｙ1^2＝（Ｙ−ｙ1）^2＋（Ｚ−１）^2
より，
ｙ1＝（１−ｓｉｎθ）／ｃｏｓθ
ｙ2＋ｙ3＝２ｚ0ｔａｎθ＝２／ｃｏｓθ
ｘ2＝（ｙ2＋ｙ3）ｔａｎ（π／２ｎ）＝２ｔａｎ（π／２ｎ）／ｃｏｓθ
ｙ2＝ｘ2／ｔａｎ（π／ｎ）＝２ｔａｎ（π／２ｎ）／ｃｏｓθｔａｎ（π／ｎ）
ｙ3＝２ｚ0ｔａｎθ−ｙ2
Ｙ＝（２ｙ1＋２ｙ2＋ｙ3）／５
＝（２ｙ1＋ｙ2＋２ｚ0ｔａｎθ）／５＝ｃｏｓθ
に代入すると
２（１−ｓｉｎθ）／ｃｏｓθ＋２ｔａｎ（π／２ｎ）／ｃｏｓθｔａｎ（π／ｎ）＋２／ｃｏｓθ＝５ｃｏｓθ
に帰着されます．これはｃｏｓθに関する４次方程式になり，数値解は
ｎ＝４のとき，θ＝２８．２０°
ｎ＝５のとき，θ＝２６．５６°
ｎ＝６のとき，θ＝２５．６６°
で与えられます．
M. Goldberg: The isoperimetric problem for polyhedra, Tohoku Math. J. 40, 226-236(1935)
の数値解とは約１°の差がありますが，いまのところ原因不明です．
その原因は
ｘ2／（ｙ2＋ｙ3）＝ｔａｎ（π／２ｎ）
が成り立たないところにあるのではと思い当たりましたが，上記の計算は閉じた形に組まれるための条件をクリアしていることがわかりました．
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【２】閉じた形に組まれた（ｎ^2５^2n）構造
ｘ2／（ｙ2＋ｙ3）＝ｔａｎα
の値が決定されないとと，その後の計算をどう進めてよいのかわかりません．何か条件を見落としているはずなのですが，ゴールドバーグの１４面体が閉じた形に組まれるための条件を欠いているのではないかと気づきました．
反角柱とは違って，任意の五角形ではねじれ重角錐は組めません．ここでは閉じた形に組めるための条件を求めてみることにしましょう．
Ａ（０，ｙ3，ｚ3）
Ｂ（−ｘ2，ｙ2，ｚ2）
Ｃ（−ｘ1，ｙ1，１）
Ｄ（ｘ1，ｙ1，１）
Ｅ（ｘ2，ｙ2，ｚ2）
の投影図形において
ｘ2＝ｙ3ｓｉｎ（π／ｎ），ｙ2＝ｙ3ｃｏｓ（π／ｎ）
したがって，
ｘ2／（ｙ2＋ｙ3）＝ｓｉｎ（π／ｎ）／（ｃｏｓ（π／ｎ）＋１）＝ｔａｎ（π／２ｎ）
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