先日，発泡スチロールカッターによる正多面体製作プロジェクトの件で，宮本次郎先生（釜石南高校）に仙台までお越しいただいた．前回の来仙の折り，ルーローの四面体の定幅図形からのズレは２．５％もあり，定幅図形でないことは明らかであるという話題になったのだが，再びその話も続きとなった．

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【１】マイスナーの論文

　小生の記憶でも『ルーローの四面体とは正四面体（３次元単体）の各頂点を中心にして辺長を半径として球面を描くと作られる定幅曲面です．ルーローの三角形を３次元に拡張した図形であり，体積が最小となる定幅図形と信じられていますが，証明されてはいません．』となっているのだが，マイスナーの論文：

Meissner: Drei Gipsmodelle von Flaechen konstanter Breite, Z. Math. Phys. 60(1912),92-94

をあたってみたところ，マイスナーが定幅曲面の例としてあげているモデルは，

［１］フルヴィッツ・藤原曲線を対称軸の周りで回転させた回転面

［２］ルーローの円弧三角形を対称軸の周りで回転させた回転面

［３］４つの球面と３つのトーラス面よりなる非回転面

の３つである．

　［１］のフルヴィッツ・藤原曲線は８次の定幅曲線である．これについては小生の書いたコラム「ｎ角の穴をあけるドリル」シリーズを参照していただきたい．［３］はおそらくルーローの四面体を定幅図形に改良したものと思われる．いま問題となっている［２］は１つの球面と１つのトーラス面より構成されることになり，４つの球面からなるルーローの四面体とはまったく別物である．

　小生に論文の読み間違いがあるかもしれないので，時間と費用ができたらこの回転体をＮＣ加工してみて実際に定幅図形であるかどうかを調べてみたいと思う．

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【２】定幅立体の体積？

　まず最初に，球面三角法を用いてルーローの四面体の体積を求めてみます．半径１の球面（単位球面）上に３点Ａ，Ｂ，Ｃがあり，それぞれが大円の弧で結ばれているものとします．球面三角形ＡＢＣの３辺の長さ（球面距離）をａ，ｂ，ｃで表すとそれぞれ大円の中心角となります．すなわち，単位球では球面距離を中心角と同一視できるわけです．また，内角Ａ，Ｂ，Ｃは大円同士が交わる面角の大きさです．

　球面三角法の公式は多数ありますが，計算に便利なように単位球における式として与えられています．ここで用いるのは

　　ｃｏｓｃ＝ｃｏｓａ・ｃｏｓｂ＋ｓｉｎａ・ｓｉｎｂ・ｃｏｓＣ

とその巡回置換，それに球面三角形ＡＢＣの面積Ｓを角過剰として表した

　　Ｓ＝Ａ＋Ｂ＋Ｃ−π

の２つだけです．

　　ａ＝ｂ＝ｃ＝π／３より，ｃｏｓＣ＝１／３

　　Ａ＝Ｂ＝Ｃ＝ａｒｃｃｏｓ（１／３）

　　Ｓ＝３ａｒｃｃｏｓ（１／３）−π

　　Ｖ＝ａｒｃｃｏｓ（１／３）−π／３

　一方，正四面体の体積Ｖ4はピタゴラスの定理を使えば中高生でも簡単に確かめることができると思われます．私の場合，計算力が鈍っているため，信頼率は５０％以下と思われるのですが，

　　Ｖ4＝√２／１２

　したがって，ルーローの四面体の体積は

　　４（Ｖ−Ｖ4）＋Ｖ4

　＝４ａｒｃｃｏｓ（１／３）−４π／３−√２／４＝０．３８１４９７

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　次に，ルーローの円弧三角形を対称軸の周りで回転させた回転体の体積を求めてみます．

　　Ａ（０，０），Ｂ＝（√３／２，−１／２），Ｃ＝（√３／２，１／２）

として，ｘ軸の周りを回転させると

　　Ｖ＝π（２／３−１／２ａｒｃｓｉｎ√３／２）

　　　＝π（２／３−π／６）＝０．４４９４６２

　この数値も私が数式処理ソフトを用いずに手計算で求めた値であるので，信頼率は５０％以下であることをお断りしておきます．

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　ところが，ルーローの三角形を３次元に拡張したマイスナーの凸体の体積は

　　π（２／３−√３／４ａｒｃｃｏｓ（１／３））＝０．４１９８６

と書かれてある本もあり，事態はますます混沌としてしまいました．

　マイスナーの凸体とは［３］を指すのでしょうか？　それにしても，どうしてこういう誤解を生じてしまったのでしょうか？

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