素数は４で割って１余る素数と４で割って３余る素数の２種類に分類できます（２だけは例外）．前者の素数はつねに２つの２乗数の和となりますが，後者の素数は決してその形には表せません．

　（例）１３＝２^2＋３^2，１９＝？^2＋？^2

この定理はフェルマー・オイラーの２平方和定理として知られています．

　それでは，４で割って１余る素数と４で割って３余る素数では，どちらが多いでしょうか？　実は，４で割って１余る素数，４で割って３余る素数の逆数和がともに無限大になり，どちらも無限個あってほぼ同じくらい存在することが示されています．

　　π4,1（ｘ）〜π4,3（ｘ）〜１／２・ｘ／ｌｏｇｘ

　３で割って１余る素数と３で割って２余る素数では，どちらが多いでしょうか？　ｎが小さいとき，３ｎ＋２型素数のほうが多いのですが，無限のｎに対しては３ｎ＋１型素数の方が多くなることが知られています．

　　π3,1（ｘ）＞１／２・ｘ／ｌｏｇｘ＞π3,2（ｘ）

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝