特別な素数である２を除外して，素数は４で割ると余りが１になるもの（５，１３，１７，２９，３７，４１，・・・）と３になるもの（３，７，１１，１９，２３，３１，・・・）の２種類に分けられます．このうち，４ｎ＋１の形の素数は２つの整数の平方の和として表されます．たとえば，

　　５＝１^2＋２^2，

　　１３＝２^2＋３^2，

　　１７＝１^2＋４^2，

　　２９＝２^2＋５^2

しかし，４ｎ＋３の形の素数は１つもこのようには表せないのです．

　ここでは２つの整数の平方の差として表される数について調べてみることにする．

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　　ｍ^2−ｎ^2＝（ｍ＋ｎ）（ｍ−ｎ）

２つの整数の平方の差として表される数は２つの数の積で表すことができる．素数の場合，ｍ＝ｎ＋１であるから，

　　（ｎ＋１）^2−ｎ^2＝２ｎ＋１

非素数の場合，

　　（ｎ＋２）^2−ｎ^2＝４ｎ＋４＝４（ｎ＋１）

　　（ｎ＋３）^2−ｎ^2＝６ｎ＋９＝３（２ｎ＋３）

　　（ｎ＋４）^2−ｎ^2＝８ｎ＋１６＝８（ｎ＋２）

　　（ｎ＋５）^2−ｎ^2＝１０ｎ＋２５＝５（２ｎ＋５），・・・

　　（ｎ＋２ｋ）^2−ｎ^2＝４ｋｎ＋４ｋ^2＝４ｋ（ｎ＋ｋ），・・・

　　（ｎ＋２ｋ＋１）^2−ｎ^2＝２（２ｋ＋１）ｎ＋（２ｋ＋１）^2＝（２ｋ＋１）（２ｎ＋ｋ＋１），・・・

　４ｎ＋２型（２，６，１０，１４，１８，・・・）は２つの整数の平方の差として表されないことがわかるだろう．

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