【１】１００１

　（その４）で述べたように７の倍数であることの判定法はあるにはあるのだが煩わしい．ところで，１００１＝７・１１・１３は連続する３つの素数の積になっている不思議な数である．この１００１を繰り返して使うと，１０進法で７の倍数，１３の倍数を判定できる．

　すなわち，整数ａがあったとき，１００１をどんどん引いていけば最終的には１０００以下の整数ｂになる．この整数ｂが７の倍数，１３の倍数のとき，整数ａも７の倍数，１３の倍数である．したがって，３桁の整数が７の倍数，１３の倍数であることが判定できればよいことになる．

　　Ｐ＝ａ3・１０^2＋ａ2・１０＋ａ1

において，

　　Ｐ＝２ａ3＋３ａ2＋ａ3　　　（ｍｏｄ７）

　　Ｐ＝ａ3−ａ2＋ａ3　　　　　（ｍｏｄ１１）

　　Ｐ＝−４ａ3−３ａ2＋ａ3　　（ｍｏｄ１３）

［１］３桁の数が７の倍数であるためには２ａ3＋３ａ2＋ａ3が７の倍数になることが必要十分である．

［２］３桁の数が１３の倍数であるためには−４ａ3−３ａ2＋ａ3が１３の倍数になることが必要十分である．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【２】１１０５

　　１００１＝７・１１・１３

でなく

　　１１０５＝５・１３・１７

についても考えてみたい．

　これは４ｎ＋１型素数のはじめの３素数の積である．特別な素数である２を除外して，素数は４で割ると余りが１になるもの（５，１３，１７，２９，３７，４１，・・・）と３になるもの（３，７，１１，１９，２３，３１，・・・）の２種類に分けられます．このうち，４ｎ＋１の形の素数は２つの整数の平方の和として表されます．たとえば，

　　５＝１^2＋２^2，

　　１３＝２^2＋３^2，

　　１７＝１^2＋４^2，

　　２９＝２^2＋５^2

しかし，４ｎ＋３の形の素数は１つもこのようには表せないのです．

　また，フィボナッチの等式としてよく知られている恒等式

　　（ａ^2＋ｂ^2）（ｃ^2＋ｄ^2）

＝（ａｃ−ｂｄ）^2＋（ａｄ＋ｂｃ）^2

＝（ａｃ＋ｂｄ）^2＋（ａｄ−ｂｃ）^2

は簡単に確認できます．この公式は２つの整数がともに平方数の和の形をしているなら，その２数の積も２通りの平方数で表されることを示していて，複素数と２平方和問題との関連を示しています．

　このことから，１１０５は２つの平方数の和で４通りに表せることになる．

　　１１０５＝（ａ^2＋ｂ^2）（ｃ^2＋ｄ^2）（ｅ^2＋ｆ^2）

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝