ピアノやオルガンのような鍵盤楽器では１オクターブの間を１２の音に分けていますが，転調のためには平均律，すなわち，１オクターブの音程を対数目盛を用いて１２等分しています．
ｒ＝２^1/12=1.059463094
としてf(x)＝１，ｒ，ｒ^2，・・・，ｒ^11，２＝２^xですが，この指数関数を平均律関数と呼ぶことにします．
ｒは無理数ですから，ピタゴラス音階のように整数比で表すことはできないのですが，ビンセンツォ・ガリレイ（ガリレオ・ガリレイの父）は
１８／１７＝１．０５８２・・・
で近似しました．
また，メルセンヌは
（２／（３−√３））^1/4＝１．０５９７３・・・
で近似しました．この式は平方根だけを含む式なので幾何学的に作図できる方法になっています．
しかし，現実に楽器の設計に応用するのは難しく，カリレイの近似値より正確で，メルセンヌのものより使いやすいものが必要になりました．１７４３年，職人のシュトレーレは数学的訓練を積んでいませんでしたが，平均律関数の単純で実用的な近似式
（２４＋１０ｘ）／（２４−７ｘ）
を与えました．
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【１】√２のディオファントス近似
今回のコラムでは，平均律関数を分数関数
Ｌ(x)＝（αｘ＋β）／（γｘ＋δ） x=1,1/12,･･･,11/12,2
で近似することを考えます．
f(0)=1,f(1/2)=√2,f(1)=2ですからL(0)=1,L(1/2)=√2,L(1)=2を満たすようにα，β，γ，δを定めると
Ｌ(x)＝（２ｘ＋√２（１−ｘ））／（ｘ＋√２（１−ｘ））
が補間関数となります．
ここで√２が出てきましたが，たとえば，これを41/29で置き換えてみると
（４１＋１７ｘ）／（４１−１２ｘ）
がよい分数関数近似式になっていることがわかります．
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無理数を有理数で近似するには，連分数展開
√２＝［１；２，２，２，２，２，・・・］
の近似分数を用いるべきであるということはよく知られています．ここでは，連分数展開と本質的には同等の√２に収束する数列を考えることにします．まず
（１＋√２）^n＝ａn＋ｂn√２
（１−√２）^n＝ａn−ｂn√２
を満足させるような整数列｛ａn｝，｛ｂn｝を考えます．これらの数列は
ａn^2−２ｂn^2＝（−１）^n
となる関係式で結ばれていて，
ａn／ｂn→ √２
ですから，√２に最も近い分数を与えることがわかります（最良近似）．
ａn+1＋ｂn+1√２＝（１＋√２）^n（ａn＋ｂn√２）
＝（ａn＋２ｂn）＋（ａn＋ｂn）√２
より
ａn+1＝ａn＋２ｂn，ｂn+1＝ａn＋ｂn
ａn+1＝ａn＋２ｂn＝ａn＋２（ａn-1＋ｂn-1）
＝ａn＋ａn-1＋（ａn-1＋２ｂn-1）＝２ａn＋ａn-1
ｂn+1＝ａn＋ｂn＝（ａn-1＋２ｂn-1）＋ｂn
＝（ａn-1＋ｂn-1）＋ｂn＋ｂn-1）＝２ｂn＋ｂn-1
より
ａn+1＝２ａn＋ａn-1，ｂn+1＝２ｂn＋ｂn-1
α，βを２次方程式ｘ^2−２ｘ−１＝０の根１±√２として，
ａn+1−αａn＝β（ａn−αａn-1）＝β^2（ａn-1−αａn-2）＝・・・＝β^(n-1)（ａ2−αａ1）
α，βを入れ替えると
ａn+1−βａn＝α^(n-1)（ａ2−βａ1）
ａn+1−αａn＝β^(n-1)（ａ2−αａ1）
したがって，整数列｛ａn｝の一般項は
ａn＝｛α^(n-1)（ａ2−βａ1）−β^(n-1)（ａ2−αａ1）｝／（α−β）
α＝１＋√２，β＝１−√２，初期値をａ1＝１，ａ2＝３とすると
ａn＝１／２｛（１＋√２）^n＋（１−√２）^n｝
整数列｛ｂn｝でも同じ漸化式ですから，同じ一般項になります．
ｂn＝｛α^(n-1)（ｂ2−βｂ1）−β^(n-1)（ｂ2−αｂ1）｝／（α−β）
初期値をｂ1＝１，ｂ2＝２とすると
ｂn＝１／２√２｛（１＋√２）^n−（１−√２）^n｝
ここで，ｎ→∞のとき（１−√２）^n→０ですから
ａn／ｂn→ √２
となるのを確かめることができます．
このとき，ａn，ｂnの値は
ｎ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０
ａn 1 3 7 17 41 99 239 577 1393 1363
ｂn 1 2 5 12 29 70 169 408 985 2378
であり，その近似分数は1/1,3/2,7/5,17/12,41/29,･･･というわけですが，たとえば，すべての有理数
ｐ／ｑ （ｐ≦４１，ｑ≦２９）
の中で41/29=1.41379･･･が√２の最もよい近似値であるのです．
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√２の近似値は1/1,3/2,7/5,17/12,41/29,･･･です．√２は２つの整数の比ｐ／ｑではないので，√２＝ｐ／ｑすなわちｐ^2＝２ｑ^2になるような２つの整数ｐ，ｑを見つけることはできません．しかし，誤差±１を許すことにすると
２ｑ^2＝ｐ^2±１ （ペル方程式）
なる２つの整数ｐ，ｑを見つけることができます．
２^2＋２^2＝３^2−１
５^2＋５^2＝７^2＋１
１２^2＋１２^2＝１７^2−１
・・・・・・・・・・・・・
このような分数を全部求めるには１／１から出発して１＋１＝２が次の分母になり，１＋２＝３が次の分子になる，３＋２＝５が第３の分母，２＋５＝７が第３の分子になって，同様に続いていくという算術的な規則があります．
1/1↓ ↑3/2↓ ↑7/5↓ ↑17/12↓ ↑41/29↓ ・・・
すなわち，ペル方程式：ｐ^2−２ｑ^2＝±１を満たすｐ／ｑがひとつの分数で，Ｐ／Ｑが次の分数だとすると
Ｑ＝ｐ＋ｑ，Ｐ＝ｑ＋Ｑ＝ｐ＋２ｑ
Ｐ^2−２Ｑ^2＝２ｑ^2−ｐ^2＝±１
となって，Ｐ／ＱもまたＰ^2−２Ｑ^2＝±１となる分数を与えることができることになります．１／１から始まって次々に解となる分数を見つけることができるというわけです．
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【２】シュトレーレの近似式
Ｌ(x)＝（２ｘ＋√２（１−ｘ））／（ｘ＋√２（１−ｘ））
の√２に17/12を代入すると
（１７＋５ｘ）／（１７−５ｘ）
となって，シュトレーレの近似式
（２４＋１０ｘ）／（２４−７ｘ）
とは異なります．
しかし，Ｌ(x)の分子と分母を２で割って
Ｌ(x)＝（ｘ＋１／√２（１−ｘ））／（ｘ／２＋１／√２（１−ｘ））
ここで，１／√２を12/17で置き換えると
（２４＋１０ｘ）／（２４−７ｘ）
になり，正しくシュトレーレの近似式です．
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【３】雑感
シュトレーレは数学的な訓練を受けていなかったので，彼がどのようにしてこの近似式を発見したのかは謎のままである．おそらく職人的な直観によるものと思われるが，あまり正確ではないと誤って評価されてしまった．この誤った評価は１９５７年にバーバーがその誤りを発見するまで続いた．
ｆ(1/2)＝Ｌ(1/2)＝√２＝１．１４１４２１
であるが，シュトレーレの近似式では
５８／４１＝１．４１４６３
バーバーはシュトレーレの近似式が正確な理由を，この式が非常に正確なのは平均律関数の分数関数近似（近似理論）と√２のディオファントス近似（数論）という２つのよい近似を効率的に組み合わせているからと結論した．
バーバーの数学的発見のおかげでシュトレーレの名誉回復がなされた．それにしてもシュトレーレはいったいどうやって近似式を思いついたのだろうか？
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