三角数Ｔn＝Ｓ（１，ｎ）＝Σｋ＝ｎ（ｎ＋１）／２である．これを拡張する方向としては，一つには指数を大きくすること，もう一つには図形数としての次数を増すことである．

　前者は

Ｓ（１，ｎ）＝Σｋ＝ｎ（ｎ＋１）／２

Ｓ（２，ｎ）＝Σｋ^2＝ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）／６

Ｓ（３，ｎ）＝Σｋ^3＝ｎ^2（ｎ＋１）^2／４

Ｓ（４，ｎ）＝Σｋ^4＝ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）（３ｎ^2＋３ｎ－１）／３０

Ｓ（５，ｎ）＝Σｋ^5＝ｎ^2（ｎ＋１）^2（２ｎ^2＋２ｎ－１）／１２

Ｓ（６，ｎ）＝Σｋ^6＝ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）（３ｎ^4＋６ｎ^3－３ｎ＋１）／４２

Ｓ（６，ｎ）＝Σｋ^7＝ｎ^2（ｎ＋１）^2（３ｎ^4＋６ｎ^3－ｎ^2－４ｎ＋２）／２４

　後者は

三角数：ｎ（ｎ＋１）／２

四角数：ｎ（２ｎ－０）／２＝ｎ^2

五角数：ｎ（３ｎ－１）／２

六角数：ｎ（４ｎ－２）／２＝ｎ（２ｎ－１）

七角数：ｎ（５ｎ－３）／２

八角数：ｎ（６ｎ－４）／２＝ｎ（３ｎ－２）

・・・・・・・・・・・・・

　たとえば，六角数をＨnとすると

　　Ｈn＝４Ｔn-1＋ｎ＝２ｎ（ｎ－１）＋ｎ＝ｎ（２ｎ－１）

が成り立つ．

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