Ｓ（１，ｎ）＝Σｋ＝ｎ（ｎ＋１）／２

Ｓ（２，ｎ）＝Σｋ^2＝ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）／６

Ｓ（３，ｎ）＝Σｋ^3＝ｎ^2（ｎ＋１）^2／４

Ｓ（４，ｎ）＝Σｋ^4＝ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）（３ｎ^2＋３ｎ−１）／３０

Ｓ（５，ｎ）＝Σｋ^5＝ｎ^2（ｎ＋１）^2（２ｎ^2＋２ｎ−１）／１２

Ｓ（６，ｎ）＝Σｋ^6＝ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）（３ｎ^4＋６ｎ^3−３ｎ＋１）／４２

Ｓ（６，ｎ）＝Σｋ^7＝ｎ^2（ｎ＋１）^2（３ｎ^4＋６ｎ^3−ｎ^2−４ｎ＋２）／２４

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ですから，左辺は，ｓが偶数のときｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）（多項式）／（整数），１以外の奇数のときｎ^2（ｎ＋１）^2（多項式）／（整数）と書くことができます．また，Ｓ（ｓ，ｎ）＝Σｋ^sは（ｓ＋１）次の多項式になり，最高次数の係数は１／（ｓ＋１）です．

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［１］３Ｓ（５，ｎ）はいつもＳ（３，ｎ）で割り切れる．

　　　Ｓ（３，ｎ）はいつもＳ（１，ｎ）で割り切れる．

　　Ｔn＝Ｓ（１，ｎ）とおく．

［２］Ｔn+1^2−Ｔn^2＝（ｎ＋１）^3

（証）

｛（ｎ＋１）（ｎ＋２）／２｝^2−｛ｎ（ｎ＋１）／２｝^2＝｛（ｎ＋２）^2−ｎ^2｝｛（ｎ＋１）／２｝^2＝４（ｎ＋１）｛（ｎ＋１）／２｝^2＝（ｎ＋１）^3

［３］Ｔ1＋Ｔ2＋Ｔ3＝Ｔ4

　　　Ｔ5＋Ｔ6＋Ｔ7＋Ｔ8＝Ｔ9＋Ｔ10

　　　Ｔ11＋Ｔ12＋Ｔ13＋Ｔ14＋Ｔ15＝Ｔ16＋Ｔ17＋Ｔ18

　　　・・・・・・・・・

（証）４＋６＋８＋・・・＋２ｋ＝２（２＋３＋・・・＋ｋ）＝ｋ（ｋ＋１）−２＝ｍ，（ｋ＋１）（ｋ＋２）−２＝ｋ^2＋３ｋ

ｋ行目の左辺はｍ＋１項目からから始まりｋ＋２項の和，右辺はｍ＋ｋ＋３項目から始まりｋ項の和である．

（左辺）（ｍ＋１）（ｍ＋２）／２＋・・・＋（ｍ＋ｋ＋２）（ｍ＋ｋ＋３）／２

＝Σ（ｍ＋ｉ）（ｍ＋１＋ｉ）／２　　（ｉ＝１〜ｋ＋２）

＝｛Σｉ^2＋（２ｍ＋１）Σｉ＋ｍ（ｍ＋１）Σ１｝／２

＝（ｋ＋２）（ｋ＋３）（２ｋ＋５）／１２＋（２ｍ＋１）（ｋ＋２）（ｋ＋３）／４＋ｍ（ｍ＋１）（ｋ＋２）／２

＝（ｋ＋２）／１２｛（ｋ＋３）（２ｋ＋５）＋３（２ｍ＋１）（ｋ＋３）＋６ｍ（ｍ＋１）｝

＝（ｋ＋２）／１２｛（２ｋ^2＋１１ｋ＋１５）＋３（２ｋ^2＋２ｋ−３）（ｋ＋３）＋６（ｋ^2＋ｋ−２）（ｋ^2＋ｋ−１）｝

＝（ｋ＋２）／１２｛６ｋ^4＋１８ｋ^3＋１４ｋ^2＋２ｋ｝

＝ｋ（ｋ＋２）／１２｛６ｋ^3＋１８ｋ^2＋１４ｋ＋２｝

（右辺）（ｍ＋ｋ＋３）（ｍ＋ｋ＋４）／２＋・・・＋（ｍ＋２ｋ＋２）（ｍ＋２ｋ＋３）／２

＝Σ（ｍ＋ｋ＋２＋ｉ）（ｍ＋ｋ＋３＋ｉ）／２　　（ｉ＝１〜ｋ）

＝｛Σｉ^2＋（２ｍ＋２ｋ＋５）Σｉ＋（ｍ＋ｋ＋２）（ｍ＋ｋ＋３）Σ１｝／２

＝ｋ（ｋ＋１）（２ｋ＋１）／１２＋（２ｍ＋２ｋ＋５）ｋ（ｋ＋１）／４＋（ｍ＋ｋ＋２）（ｍ＋ｋ＋３）ｋ／２

＝ｋ／２｛（ｋ＋１）（２ｋ＋１）／６＋（２ｍ＋２ｋ＋５）（ｋ＋１）／２＋（ｍ＋ｋ＋２）（ｍ＋ｋ＋３）｝

＝ｋ／１２｛（ｋ＋１）（２ｋ＋１）＋３（２ｍ＋２ｋ＋５）（ｋ＋１）＋６（ｍ＋ｋ＋２）（ｍ＋ｋ＋３）｝

＝ｋ／１２｛（２ｋ^2＋３ｋ＋１）＋３（２ｋ^2＋４ｋ＋１）（ｋ＋１）＋６（ｋ^2＋２ｋ）（ｋ^2＋２ｋ＋１）｝

＝ｋ／１２｛６ｋ^4＋３０ｋ^3＋５０ｋ^2＋３０ｋ＋４｝

＝ｋ（ｋ＋２）／１２｛６ｋ^3＋１８ｋ^2＋１４ｋ＋２｝

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