（その１８）の問題

［Ｑ］１辺の長さｄの正三角形がある．その中にある１点をとったら，３頂点からそれぞれａ＝７ｃｍ，ｂ＝１０ｃｍ，ｃ＝１３ｃｍの距離にあった．１辺の長さｄを求めよ．

は一松信先生が数検主催のMath-Battleに出題した問題らしい．出題する立場から見直してみたい．

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　１辺の長さがｄの正三角形の中に点Ｐがあり，３頂点との距離はそれぞれａ，ｂ，ｃになっている．このとき，

　　３（ａ^4＋ｂ^4＋ｃ^4＋ｄ^4）＝（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＋ｄ^2）^2

が成り立つ．この公式を知っていれば答は簡単である．しかし，誤れば失敗するし，かといって自ら導き出すのも骨の折れる作業である．

　ともあれ，ａ，ｂ，ｃが等差数列になっているものとする．

　　ａ＝ｂ−ｅ，ｂ，ｃ＝ｂ＋ｅ

　　ａ^2＝（ｂ−ｅ）^2，ａ^4＝（ｂ−ｅ）^4

　　ｃ^2＝（ｂ＋ｅ）^2，ｃ^4＝（ｂ＋ｅ）^4

　　ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＝３ｂ^2＋２ｅ^2

　　ａ^4＋ｂ^4＋ｃ^4＝３ｂ^4＋１２ｂ^2ｅ^2＋２ｅ^4

　　３（３ｂ^4＋１２ｂ^2ｅ^2＋２ｅ^4＋ｄ^4）＝（３ｂ^2＋２ｅ^2＋ｄ^2）^2＝ｄ^4＋２（３ｂ^2＋２ｅ^2）ｄ^2＋（３ｂ^2＋２ｅ^2）^2

　　ｄ^4−（３ｂ^2＋２ｅ^2）ｄ^2＋１２ｂ^2ｅ^2＋ｅ^2＝０

　　Ｄ＝（３ｂ^2＋２ｅ^2）^2−４（１２ｂ^2ｅ^2＋ｅ^2）＝９ｂ^4−３６ｂ^2ｅ^2＝９ｂ^2（ｂ^2−４ｅ^2）

　計算しやすいようにするためには

　　ｂ^2−４ｅ^2＝ｆ^2，ｂ^2＝（２ｅ）^2＋ｆ^2

　そのため，２ｅ＝６，ｆ＝８，ｂ＝１０

　　ｂ＝１０，ｅ＝３→ａ＝７，ｂ＝１０，ｃ＝１３

が選ばれているが，２ｅ＝４，ｆ＝３，ｂ＝５とすれば，

　　ｂ＝５，ｅ＝２→ａ＝３，ｂ＝５，ｃ＝７

２ｅ＝１２，ｆ＝５，ｂ＝１３とすれば，

　　ｂ＝１３，ｅ＝６→ａ＝７，ｂ＝１３，ｃ＝１９

でもよいことになる．

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