［Ｑ］長さ２０ｃｍの棒２本を一端でつなぎ合わせる．つないだ端と反対の端を動かして，端同士が２４ｃｍ離れた状態にすると，その面積は１９２平方ｃｍになる．また，端同士が３２ｃｍ離れた状態にすると，その面積は再び１９２平方ｃｍになる．この途中のどこかで面積は最大値をとるが，その最大値は？

［Ａ］最大値は直角三角形のとき，２００平方ｃｍ．

　簡単な問題であるが，その３次元版を考えてみよう．

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　１辺の長さ１の正三角形２個が蝶番で結ばれた空間四角形は，２つ折りの三角形（Ｈ＝０）から菱形（Ｈ＝√３）まで変形する．

　空間のヘロンの公式は，オイラーの公式とも呼ばれるものであるが，

　　（１２×体積）^2＝六斜術の両辺の差

に等しいということを主張していて，すなわち，点Ｐが平面三角形ＡＢＣの平面上になく，４点が四面体の頂点をなすときの四面体の体積公式であるから，六斜術は四面体が平面上に退化して体積が０になった極限と解釈することができる．

　二面角δは

　　Ｈ＝０→δ＝０°

　　Ｈ＝１→δ＝ａｒｃｃｏｓ（１／３）＝７０．５°

　　Ｈ＝｛（１０−２√５）／５｝^1/2→δ＝２ａｒｃｔａｎ（３−√５）＝７４．７５４８

　　Ｈ＝√３→δ＝１８０°

であるが，体積が最大となるのは

　　Ｈ＝√（３／２）

のときである．

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［Ｑ］Ｈ＝√（３／２）のときの二面角を求めよ．

［Ａ］δ／２＝ａｒｃｔａｎ（Ｈ／２／（Ｈ／２））＝１

　　　δ＝９０°

　したがって，９０°まで増加し，それ以降は減少に転ずることがわかる．考えてみれは，底面積が変わらず高さの変わる四面体の体積であるから当たり前の結果（アダマールの定理）であろう．

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