レイリーの定理とは「α，βを１／α＋１／β＝１を満たす無理数，［］をガウス記号とするとき，２つの数列｛ａn｝＝｛［ｎα］｝，｛ｂn｝＝｛［ｎβ］｝は共通項がなく，併せるとすべての整数１，２，３，・・・を与える．」というものです．
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【１】レイリーの定理
α≦βとすると，仮定からαは区間（１，２）にあることがわかりますが，たとえば，
α＝（１＋√５）／２，β＝（３＋√５）／２＝α＋１＝α^2
とき，ａn，ｂnの値は
ｎ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ 10
ａn 1 3 4 6 8 9 11 12 14 16
ｂn 2 5 7 10 13 15 18 20 23 26
ｎ 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
ａn 17 19 21 22 24 25 27 29 30 32
ｂn 28 31 34 36 39 41 44 47 49 52
ｎ 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
ａn 33 35 37 38 40 42 43 45 46 48
ｂn 54 57 60 62 65 68 70 73 75 78
ｎ 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
ａn 50 51 53 55 56 58 59 61 63 64
ｂn 81 83 86 89 91 94 96 99 102 104
ｎ 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
ａn 66 67 69 71 72 74 76 77 79 80
ｂn 107 109 112 115
これを
ｎ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ 10
ａn 1 3 4 6 8 9 11 12 14 16
ｂn 2 5 7 10 13 15
ｎ 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
ａn 17 19 21 22 24 25 27 29 30 32
ｂn 18 20 23 26 28 31
ｎ 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
ａn 33 35 37 38 40 42 43 45 46 48
ｂn 34 36 39 41 44 47 49
ｎ 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
ａn 50 51 53 55 56 58 59 61 63 64
ｂn 52 54 57 60 62 65
ｎ 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
ａn 66 67 69 71 72 74 76 77 79 80
ｂn 68 70 73 75 78
と並べ直すと，２つの数列は共通項がなく，併せるとすべての整数１，２，３，・・・を与えるという意味がおわかり頂けると思います．
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【２】ビーティー数列
レイリーは数列の任意の連続する２項の間には必ずもう一つの数列の項が入り込むことを発見したのですが，この定理は１９６２年にビーティーにより再発見されたことにより，２つの数列はビーティー数列と名付けられています．
数列｛ａn｝がビーティー数列ならば，ａnの値はａ1，ａ2，・・・，ａn-1の値から１以内の誤差で決定することができます．ａ1＋ａn-1，ａ2＋ａn-2，・・・，ａn-1＋ａ1の和はすべてｖまたはｖ＋１になるからです．また，この和がすべてｖならばａn＝ｖ＋１でなければなりません．もし，そうでなければビーティー数列ではないということになります．
たとえば，ビーティー数列１，３，４，６，８，９，・・・において，ａ1＋ａ1＝２よりａ2は２または３（実際は３），ａ1＋ａ2＝４よりａ3は４または５３（実際は４），ａ1＋ａ3＝５，ａ2＋ａ2＝６よりａ4は６となります．
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【３】黄金比
白銀比√２に対するビーティー数列も同様に求めることができるのですが，ここでは黄金比（１＋√５）／２の性質をもうひとつみてみましょう．
とくに
α＝（１＋√５）／２，β＝（３＋√５）／２＝α＋１＝α^2
ならば，
［ｎβ］＝［α［ｎα］］＋１
［α［ｎβ］］＝［ｎα］＋［ｎβ］
を満たします．
逆に，
［ｎβ］＝［α［ｎα］］＋１
［α［ｎβ］］＝［ｎα］＋［ｎβ］
を満たすならば，
α＝（１＋√５）／２，β＝（３＋√５）／２＝α＋１＝α^2
となります．
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