【１】種数ｇ表面上の正則平面グラフ

　Ｋvが平面的であるならば，ｑ＝ｖ−１，ｅ＝ｖ（ｖ−１）／２．

　　ｆ＝２−２ｇ＋ｅ−ｖ＝２−２ｇ＋ｖ（ｖ−１）／２−ｖ

また，各面は少なくとも３つの辺をもたなければならないから，

　　３（２−２ｇ＋ｖ（ｖ−１）／２−ｖ）＝３ｆ≦２ｅ＝ｖ（ｖ−１）

　正則正則平面グラフであるためには

　　３（２−２ｇ＋ｖ（ｖ−１）／２−ｖ）＝ｖ（ｖ−１）

　　ｇ＝（ｖ−３）（ｖ−４）／１２

　この方程式には解が無数にあるが，

　　ｇ＝０　→　Ｋ4

　　ｇ＝１　→　Ｋ7

　　ｇ＝６　→　Ｋ12

すなわち，

［１］球面上のＫ4

［２］トーラス面上のＫ7

［３］種数６表面上のＫ12

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【２】セイザー（チャサール）の多面体

　トーラスと同相で，面がすべて三角形，したがって対角線をもたない．

　頂点は７で，辺のなすグラフはＫ7である．

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