鼈臑，パウル・シャッツ立体，工藤の四面体８個には対辺が直交する組が１組，正四面体には３組ある．鼈臑（べつどう，１／６立方体）を８個つないだ環には遊びがあり，同じ角度でも取り得る形はひとつに決まらない．それに対して，６個のパウル・シャッツ立体からなる環は常にタイトで，角度を決めれば形が一通りに定まる１自由度の系である．

　８個の正四面体をつないでできる環にも動きに若干の遊びがあるが，工藤の四面体８個からなる環は，パウル・シャッツ環同様，角度を決めれば形が一通りに定まる１自由度の系のようにみえるという．

　しかし，ｎ角形（ｎ＞３）は容易に変形できるので，８個の四面体をつないだ環が１自由度系になるということはどう考えても不可解であった．そこで，中川宏さんから実物を送っていただき「連続回転する多面体の環の動作が１自由度系になるための数学的な条件」を解明することにした．

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【１】パウル・シャッツ環の動作

　パウル・シャッツ環はパウル・シャッツ立体３対を使ったサメの顎のような動くおもちゃで，輪郭が正六角形となるとき中央には正三角形の穴があき，中央の穴が閉じたとき片面は正三角形の平面になる．このとき，パウル・シャッツ立体１対で陽馬型を形成することになる．

　この一連の動作中，パウル・シャッツ環は常に３回対称を保って変形し，あるジョイントの角度を決めれば形が一通りに定まる１自由度の系である．

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【２】工藤の四面体２分割環の動作

　工藤の四面体（２／２４立方体）では動作がわかりにくいので，パウル・シャッツ環のように中央の穴が閉じたとき片面が正方形の平面になるように，その２分割体８個からなる環を製作してもらった．

　工藤の四面体（２／２４立方体）の２分割体は，分割方向によって１／２４立方体と２／４８立方体になるが，両者は同じものである．以下，中川宏さんに製作してもらった工藤の四面体の２分割環の動作である．

　２分割環では鼈臑環のように中央に大きな四角い穴があくことになった．すなわち，工藤の四面体はずんぐりしているため，環のジョイントの可動域が制限されて１自由度の系のようにみえるだけであって，実際は１自由度ではないのである．

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【３】鼈臑環の動作

　工藤の四面体２分割環の動作を見ていると，さらに２分割できることに気づかされる．工藤の四面体を２分割したものは１／４８立方体であるから，それは鼈臑（１／６立方体）に相似である．鼈臑環ではジョイントの可動域の制限が減少し，よりスムーズな連続回転が可能である．

　以上のことから，連続回転する多面体の環の基本形は一般化したパウル・シャッツ立体であり，ａ≦１／√３より細長くかつ平たい四面体６個（鏡像体を３個ずつ交互に）をつなくと１自由度回転することができることがわかる．ただし，片面が正三角形の平面になったとき中央の穴が閉じるのはａ＝１／√３のときに限られることも理解される．パウル・シャッツ環の秀逸さを示すものである．

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