ｑ＝｛（１＋√２）^p＋（１−√２）^p｝／２

はフィボナット数列やリュカ数列の母関数にも似ているが，置換多面体の正軸体版の体積もこれに似た形になるものと思われる．

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【１】おさらい

　　Ｖ0＝１，Ｖ1＝１，Λ0＝１，Λ1＝１

とする．

　置換多面体の体積公式（角錐分解公式）は

　　Ｖn＝ΣＮjＨj／ｎ・Ｖn-j-1Ｖj　　（ｊ＝０〜ｎ−１）

　　Ｎk^(n)＝n+1Ｃk+1

　　Ｈk＝ｈk／２｜ｘ1−ａ1｜＝ｈk／｜１−ｙ1｜

＝｛（ｋ＋１）（ｎ−ｋ）（ｎ＋１）／８｝^1/2

で与えられる．これらはimplicitな形であって，explicitな形

　　Ｖn＝（ｎ＋１）^n-1/2／２^n/2

もあることを申し添えておきたい．

　その正軸体版の体積は

　　Λn＝ΣＮjＨj／ｎ・Λn-j-1Ｖj　　（ｊ＝０〜ｎ−１）

　　Ｎk^(n)＝２^(k+1)nＣk+1

　　Ｈk＝（１＋ｎ√２−（ｋ＋２）／√２）・√（ｋ＋１）／２

＝（１＋ｎ√２−（ｋ＋２）√２／２）・√（ｋ＋１）／２

＝（１＋（ｎ−１−ｋ／２）√２）・√（ｋ＋１）／２

で与えられる．

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　　Ｖk＝（ｋ＋１）^k-1/2／２^k/2

ＨkＶk＝（１＋（ｎ−１−ｋ／２）√２）・（ｋ＋１）^k／２^k/2+1

ＮkＨkＶk＝（１＋（ｎ−１−ｋ／２）√２）・（ｋ＋１）^k・２^k/2・（ｎ，ｋ＋１）

　ｋ＝０〜ｎ−１の範囲で計算すればよい．

［１］ｎ＝１のとき，Λ0＝１より，

１／ｎΣＮkＨkＶkΛn-k-1＝（１＋（ｎ−１−ｋ／２）√２）・（ｋ＋１）^k・２^k/2・（ｎ，ｋ＋１）Λn-k-1

＝１／１・１・１・１・（１，１）・１＝１＝Λ1

［２］ｎ＝２のとき，Λ0＝１，Λ1＝１より，

１／ｎΣＮkＨkＶkΛn-k-1＝（１＋（ｎ−１−ｋ／２）√２）・（ｋ＋１）^k・２^k/2・（ｎ，ｋ＋１）Λn-k-1

＝１／２・（１＋√２）・１・１・（２，１）・１＋１／２・（１＋√２／２）・２・√２・（２，２）・１

＝１＋√２＋（√２＋１）＝２＋２√２＝Λ2

　こうして，

　　Λ3＝２２＋１４√２

　　Λ4＝２６２＋１８４√２

　　Λ5＝４１０６＋３１２８√２

　　Λ6＝９１２３６＋５７１７２√２

　　Λ7＝１９０６８３６＋１５７４３２４√２

と個別には求められるが，一般式を得るのは難しそうである．

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