素数７による整除性について補足しよう．与えられた数を

　　Ｐ＝ａn・１０^(n-1)＋ａn-1・１０^(n-2)＋・・・＋ａ2・１０＋ａ1

とする．

［１］１の位の数を除去し，残った数から除去した数の２倍を引く．

　　Ｑ＝ａn・１０^(n-2)＋ａn-1・１０^(n-3)＋・・・＋ａ2−２ａ1

この数が７で割り切れるとき，そのときに限り元の数Ｐは７で割り切れる．（この数が大きすぎる場合は，この操作を何度でも繰り返すことができる）

　この操作の意味を考えてみると

　　Ｐ−１０Ｑ＝２１ａ1＝７・３ａ1

より，７の倍数を元の数から引くことを意味している．したがって，残った数が７で割り切れれば，元の数も７で割り切れることになる．

　元の数の桁が非常に多い場合が下３桁を除去し残りから引くことで処理がずっと高速化される．

　　Ｑ＝ａn・１０^(n-4)＋ａn-1・１０^(n-5)＋・・・＋ａ4−（ａ3・１０^2＋ａ2・１０＋ａ1）

　　Ｐ−１０００Ｑ＝１００１（ａ3・１０^2＋ａ2・１０＋ａ1）＝７・１１・１３（ａ3・１０^2＋ａ2・１０＋ａ1）

この操作の正当性は１００１が７で割り切れることからきているのである．

［２］下３桁の数を除去し，残った数から除去した数を引く．この数が７で割り切れるとき，そのときに限り元の数は７で割り切れる．

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　ところで，左からｋ個とった数がｋで割り切れる数の

［１］最下位の１桁は０である．

［２］上から５桁目は５である．

［３］奇数桁は奇数，偶数桁は偶数である．

［４］１＋２＋・・・＋９＝４５であるから上から９桁目はどの奇数が入るかわからない．

　試行錯誤しかないと思われるが，３８で始まるこのような性質をもつ数を作ることにする．上から３桁目は１，３，７，９のいずれかであるが，各位の数の和が３の倍数となるのは１，７だけである．

　上から４桁目は２，４，６のいずれかであるが，３８１の場合，下２桁が４の倍数となるのは２，６，３８７の場合も２，６のいずれかである．

　上から５桁目は５であるから

　　３８１２５，３８１６５，３８７２５，３８７６５

　上から６桁目は偶数であるが，各位の数の和が３の倍数となることより，

　　３８１２５→ＮＧ

　　３８１６５→３８１６５４

　　３８７２５→ＮＧ

　　３８７６５→３８７６５４

　上から７桁目は奇数であるが，７で割り切れるようにするためには，

　　３８１６５４→３８１６５４７

　　３８７６５４→ＮＧ

　残りは自動的に決まるが，３８１６５４７２は下３桁が８の倍数となる．　３８１６５４７２９は各位の数の和が９の倍数となる．３８１６５４７２９０は１の位が０となる．

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