今回のコラムでも数列の次の項を予想するという数列のパズルを取り上げてみます．
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【１】ポリオミノ数
ポリオミノの一般項に対しても公式は知られていない．回転や反転で同型になるものは同じと数えると，モノミノ（１），ドミノ（１），トロミノ（２），テトロミノ（５），ペントミノ（１２），ヘキソミノ（３５），ヘプトミノ（１０８），オクトミノ（３６９），・・・．別に数えると，モノミノ（１），ドミノ（２），トロミノ（６），テトロミノ（１９），ペントミノ（６３），ヘキソミノ（２１６），ヘプトミノ（７６０），オクトミノ（２７２５），・・・
ｎオミノの種類はｎとともに急速に増加する．前者の個数をＰn，後者の個数をＱnと表すと
ｎ Ｐn Ｑn ｎ Ｐn Ｑn
１ 1 1 10 4655 36446
２ 1 2 11 17073 135268
３ 2 6 12 63600 505861
４ 5 19 13 238591 1903890
５ 12 63 14 901971 7204874
６ 35 216 15 3426576 27394666
７ 108 760 16 13079255 104592937
８ 369 2725 17 50107911 400795860
９ 1285 9910 18 192622052 1540820542
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【２】立体ポリオミノ数
ポリオミノの正方形を立方体に置き換えた立体ポリオミノでは，回転や反転で同型になるものは同じと数えると，モノミノ（１），ドミノ（１），トロミノ（２），テトロミノ（８），ペントミノ（２９），ヘキソミノ（１６６），ヘプトミノ（１０２３），・・・．別に数えると，モノミノ（１），ドミノ（３），トロミノ（１５），テトロミノ（９３），ペントミノ（６３９），ヘキソミノ（４６５３），ヘプトミノ（３５１６９），・・・
ｎ Ｐn Ｑn
１ 1 1
２ 1 3
３ 2 15
４ 8 93
５ 29 639
６ 166 4653
７ 1023 35169
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【３】格子の第ｎ近接数
１次元格子（Ａ1），三角格子（Ａ2＝Ｇ2），正方格子（Ｄ2＝Ｂ2），単純立方格子（sc），体心立方格子（bcc），面心立方格子（fcc：Ａ3＝Ｄ3）の見取り図を描いて，第ｎ近接の個数を数えてみると
第１近接，第２近接，第３近接，第４近接，・・・
１次元格子 ：２，２，２，２，２，２，・・・
三角格子 ：６，６，６，１２，６，１８，・・・
正方格子 ：４，４，４，８，４，４，・・・
単純立方格子：６，１２，８，６，２４，２４，・・・
体心立方格子：８，６，１２，２４，８，６，・・・
面心立方格子：１２，６，１６，１２，２４，８，・・・
が得られます．
この他の２次元格子では六角格子（ハニカム格子）やカゴメ格子，３次元格子ではダイヤモンド格子などについて数え上げてみるのも面白いのですが，このような単純素朴な方法では４次元のＤ4格子についての結果は得られません．
Ｄ4格子（＝Ｆ4格子）は４次元の体心立方格子であり，正２４胞体による４次元空間の充填形に相当するものです．ここで，σ0（ｎ）をｎの奇数の約数の和と定義します．そうすればＤ4格子では原点からのノルムがｎである点の個数が
２４σ0（ｎ）
で与えられるのですが，
ｎ＝１ → ２４・１＝２４個
ｎ＝２ → ２４・１＝２４個
ｎ＝３ → ２４・（１＋３）＝９６個
ｎ＝４ → ２４・１＝２４個
ｎ＝５ → ２４・（１＋５）＝１４４個
ｎ＝６ → ２４・（１＋３）＝９６個
ｎ＝７ → ２４・（１＋７）＝１９２個
ｎ＝８ → ２４・１＝２４個
ｎ＝９ → ２４・（１＋３＋９）＝３１２個
ｎ＝10 → ２４・（１＋５）＝１４４個
さらに，Ｄ4格子の各格子点の勢力範囲が１／２であることを使うと
Σ１／ｎ^2＝π^2／６
を証明できます．同様に，例外型リー環に属する８次元のＥ8格子では
２４０σ3（ｎ）
であり，勢力域の体積が１／１６であることから
Σ１／ｎ^4＝π^4／９０
を得ることができます．
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また，８次元空間内で隣り合う２点間の距離がすべて１の格子では原点に隣接する点は２４０個あり，それらと原点を結ぶベクトルが例外型リー環のＥ8ルート系を表すので，この格子をＥ8格子といいます．
そして，８次元空間において，２個の正軸体（正８面体の拡張）と１個の正単体（正４面体の拡張）を組み合わせると空間充填形ができるのですが，Ｅ8はＡ8とＤ8両方を含んでいるというわけです．
なお，Ｅ8格子において，原点からの距離が√ｎである格子点の個数は
２４０σ3（ｎ）
（ここで，σ3（ｎ）はｎの約数の３乗の和）と表せることが知られています．すなわち，
ｎ＝１（１^1，０^7）（1/2^4，０^4） → ２４０・１^3＝２４０個
ｎ＝２（１^2，０^6）（1/2^4，１^1，０^3）（1/2^8） → ２４０・（１^3＋２^3）＝２１６０個
ｎ＝３ → ２４０・（１^3＋３^3）＝６７２０個
ｎ＝４ → ２４０・（１^3＋２^3＋４^3）＝１７５２０個
ｎ＝５ → ２４０・（１^3＋５^3）＝３０２４０個
［参］コラム「球の充填と格子（その２）」
コラム「因数分解の算法（その１９）」
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