０＜ａ1＜ａ2＜・・・＜ａn＜１

が任意のｉ≦ｋ≦ｎに対して，ａ1，・・・，ａnが区間［（ｉ−１）／ｋ，ｉ／ｋ］にあるような性質を満たすｎ個の数がとれる最大の整数ｎは１７である．

　何のことかわかりにくいと思うが，

［１］線分上のどこかに点をうつ

［２］線分を１／２ずつ分けたそれぞれの区間に別々の２つの点が属するように第２の点を打つ

［３］線分を１／３ずつ分けた別々のそれぞれの区間に別々の３つの点が属するように第３の点を打つ

　同じことを続けていく．

［４］線分を１／ｎずつ分けた別々のそれぞれの区間に別々のｎ個の点が属するようにｎ番目の点を打つ

　これが可能なのはｎ＝１７までで，１８個以上の点をこのように配置することは不可能である（バーレカンプとグラハム，１９７０年）．

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［おまけ］

　エルデシュはどの合成数ｎに対してもｒ（≦６）個の整数

　　ａ1＜ａ2＜ａ3＜ａ4＜ａ5＜ａr＝ｎ

を選んで

　　Πａk！

が平方数になるようにできることを証明した．

　実際，ｎ＝ｃ・ｄなら

　　（ｃ−１）！ｃ！（ｄ−１）！ｄ！（ｎ−１）！ｎ！

＝｛（ｃ−１）！（ｄ−１）！（ｎ−１）！ｎ｝^2

は平方数である．これは３つ必要になる場合であるが，６つ必要になる最小の数は５２７＝１７・３１である．

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