［Ｑ１］Σ１／２^n＝１／２＋１／４＋１／８＋・・・＝？

［Ａ１］１

［Ｑ２］Σｎ^3／２^n＝１／２＋８／４＋２７／８＋・・・＝？

［Ａ２］２６

［Ｑ２］とともかくとして［Ｑ１］は，一般に

　　１＝Σ（β−１）／β^n

と書くこととができる．

　β＝２のときが

　　１＝１／２＋１／４＋１／８＋・・・

　β＝１０のときが

　　１＝９／１０＋９／１００＋９／１０００＋・・・

それぞれ１のβ進数展開である．

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　有理数→実数→複素数という数の体系の他に，有理数→ｐ進数として発展した数体系があります．そこではまず素数ｐをひとつ決めておきます．

　　ａ＝ｐ^n・ｂ　　（ｂはｐで割り切れない）

のとき，ａの絶対値を

　　｜ａ｜p＝ｐ^ｰn

で定めます．たとえば，ｐ＝３のとき，

　　｜１８｜p＝｜２・３^2｜p＝３^ｰ2，｜１９｜p＝１，｜２０｜p＝｜２^2・５｜p＝１，｜２１｜p＝｜３・７｜p＝３^ｰ1

となります．

　ここで定まる絶対値をｐ進付値と呼びますが，ｐ進付値は大きくなると０に近づきます．そのため，ｐのベキが大きくなるようにつけ加えていきます．

　　Ｑp＝｛ａ-nｐ^-n＋ａ-n+1ｐ^-n+1＋・・・＋ａ0＋ａ1ｐ＋・・・｝

　　０≦ａi≦ｎ−１

　ここで不思議なことが起こります．

　　１＋７＋７^2＋７^3＋・・・

は

　　１＋７＋７^2＋７^3＋・・・＋７^n＝（７^n+1−１）／（７−１）

　　７^n+1→０

ですから，

　　１＋７＋７^2＋７^3＋・・・＝−１／６

　　１＋２＋２^2＋２^3＋・・・＝−１

　　Σ（ｐ−１）ｐ^n＝−１

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