アステロイド：ｆ（ｘ，ｙ）＝（ｘ^2＋ｙ^2−４）^3＋１０８ｘ^2ｙ^2＝０

カージオイド：ｆ（ｘ，ｙ）＝（ｘ^2＋ｙ^2−２ｘ）^2−４（ｘ^2＋ｙ^2）＝０

ネフロイド：ｆ（ｘ，ｙ）＝（ｘ^2＋ｙ^2−４）^3−１０８ｘ^2＝０

デルトイド：ｆ（ｘ，ｙ）＝（ｘ^2＋ｙ^2＋９）^2＋８ｘ（３ｙ^2−ｘ^2）−１０８＝０

などの方程式は，それぞれの代数曲線の対称性を表現していると考えられます．

　たとえば，カージオイドとデルトイドでは多項式にｘ項が含まれているため，ｙ軸に関して対称ではありません．今回のコラムでは２変数多項式の対称性について調べてみましょう．

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【１】対称多項式

　直線ｙ＝ｘに関する裏返しによって，点（ｘ，ｙ）は点（ｙ，ｘ）に移ります．そして多項式ｆが任意のｘ，ｙについて

　　ｆ（ｙ，ｘ）＝ｆ（ｘ，ｙ）

となるとき，対称多項式といいます．

　ｇ（ｘ）＝｛ｇ（ｘ）＋ｇ（−ｘ）｝／２＋｛ｇ（ｘ）−ｇ（−ｘ）｝／２

より，任意の関数は偶関数と奇関数の和として表すことができますから，

　　ｕ＝ｘ＋ｙ，ｖ＝ｘ−ｙ，ｘ＝（ｕ＋ｖ）／２，ｙ＝（ｕ−ｖ）／２

として，新しい座標系を導入すると

　　ｆ（ｘ，ｙ）＝Ｆ（ｕ，ｖ）

　ｘ，ｙを入れ替えるとｕ→ｕ，ｖ→−ｖですから，ｆ（ｙ，ｘ）＝ｆ（ｘ，ｙ）よりＦ（ｕ，−ｖ）＝Ｆ（ｕ，ｖ）．したがって，変数ｖは偶数乗ｖ^2nの形で入っていることになります．すなわち，

　　ｆ（ｘ，ｙ）＝Ｆ（ｕ，ｖ^2）＝Ｆ（ｘ＋ｙ，（ｘ−ｙ）^2）

であることがわかります．

　また，（ｘ−ｙ）^2＝（ｘ＋ｙ）^2−４ｘｙとなって，

　　ｆ（ｘ，ｙ）＝Ｆ（ｘ＋ｙ，ｘｙ）

このように，対称多項式は２つの変数の和と積：ｘ＋ｙ，ｘｙの多項式の形に表すことができます．σ1＝ｘ＋ｙ，σ2＝ｘｙは２変数基本対称式と呼ばれますが，任意の２変数対称式は基本対称式の多項式の形に表されます．

　例として

　　ｓn＝ｘ^n＋ｙ^n

を考えると

　　ｓn＝（ｘ＋ｙ）（ｘ^n-1＋ｙ^n-1）−ｘｙ（ｘ^n-2＋ｙ^n-2）

　　　 ＝σ1ｓn-1−σ2ｓn-2

であることがわかります．この漸化式をいくつか書き下してみると

　　ｓ0＝２

　　ｓ1＝σ1

　　ｓ2＝σ1^2−２σ2

　　ｓ3＝σ1^3−３σ1σ2

　　ｓ4＝σ1^4−４σ1^2σ2＋２σ2^2

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【２】対称多項式の拡張（Ｄ1）

　ｎ次多項式：f(x)=a0x^n+a1x^(n-1)+･･･+an-1x+an

が関係式

　　f(x)=f(-1-x)(-1)^n

を満たすとき，ｎ次対称多項式と呼ぶことにします．

　　０次対称多項式：f(x)=c（定数関数）

　　１次対称多項式：f(x)=x+1/2，f(x)=ax+a/2

　　２次対称多項式：f(x)=ax^2+ax+c

　　ｎ次対称多項式：f(x)=ax^n+a(1+x)^n

などはその例です．すなわち，ｘの代わりに−１−ｘを代入すると，ｎが奇数のとき符号が交代，ｎが偶数のとき交代しない関数が対称多項式です．

　　f(x)=f(-1-x)(-1)^n

の両辺を微分すると

　　f'(x)=f'(-1-x)(-1)^(n-1)

　　f"(x)=f"(-1-x)(-1)^(n-2)

(n-k)次導関数も対称多項式になります．ｘ＝０とおくと，ｎ次多項式：f(x)=a0x^n+a1x^(n-1)+･･･+an-1x+anが対称多項式であるための必要十分条件は

　　f(k)(0)=f(k)(-1)(-1)^(n-k) (k=0~n)

が成り立つことであることがわかります．そのためには係数の間に関係式

　　{1+(-1)^(k-1)}ak=Σ(n-i,n-k)ai(-1)^i (k=0~n)

が成り立たねばなりません．

　また，ｓ次対称多項式Ｆs(x)を適当に選んで

　　f(x)=ΣｃsＦn-s(x)

がｎ次対称多項式になるためにはｃ2k+1=0が成り立たねばなりません．

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［１］ベルヌーイ多項式

　　Ｂ0(x)=1，Ｂ2k+1(0)=0，Ｂ's(x)=Ｂs-1(x)

を満たすｓ次対称多項式をベルヌーイ多項式Ｂs(x)として定義します．この条件より帰納的にＢs(x)を求めることができます．

　また，文献によって定義の仕方が異なるのですが，ここではベルヌーイ数を

　　Ｂr=(2r)!(-1)^(r-1)Ｂ2r(0)

として定義します．たとえば，

　　Ｂ1=1/6，Ｂ2=1/30，Ｂ3=1/42，Ｂ4=1/30，Ｂ5=5/66，Ｂ6=691/2730

［２］オイラー多項式Ｅs(x)

　　Ｅ0(x)=1/2，Ｅ2k(0)=0，Ｅ's(x)=Ｅs-1(x)

を満たすｓ次対称多項式をオイラー多項式Ｅs(x)として帰納的に定義します．また，タンジェント数を

　　Ｔr=(2r-1)!2^2r(-1)^(r-1)Ｅ2r-1(0)

で定義しておきます．

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　ベルヌーイ多項式やオイラー多項式のような例も含めることにすると，対称多項式を直線ｙ＝ｘに関する裏返し以外にも拡張しておくほうが便利です．任意の直線：ａｘ＋ｂｙ＋ｃ＝０に関する裏返しによって，点（ｘ，ｙ）が点（Ｘ，Ｙ）に移るとしましょう．簡単な計算によって

　　Ｘ＝−｛（ａ^2−ｂ^2）ｘ＋２ａ（ｂｙ＋ｃ）｝／（ａ^2＋ｂ^2）

　　Ｙ＝−｛（ｂ^2−ａ^2）ｙ＋２ｂ（ａｘ＋ｃ）｝／（ａ^2＋ｂ^2）

　このときの不変量として

　　ａＸ＋ｂＹ＝ａｘ＋ｂｙ

　　ｂＸ−ａＹ＝ｂｘ−ａｙ

が成立します．したがって，

　　ｆ（Ｘ，Ｙ）＝ｆ（ｘ，ｙ）

となるとき，この多項式は和と差の平方：

　　ｆ（ａｘ＋ｂｙ，（ａｙ−ｂｘ）^2）

の多項式の形に表すことができることがわかります．

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【３】対称多項式の拡張（Ｃn）

　ここまでは群Ｄ1（恒等変換と裏返しでできている群）を考えましたが，ここでは群Ｃn，原点を中心として２π／ｎの整数倍の回転で変わらない多項式を考えてみます．

　ｘ＝ｒｃｏｓφ，ｙ＝ｒｓｉｎφ，θ＝２π／ｎ，ｋ＝０〜ｎ−１とおくと

　　［Ｘ］＝［ｃｏｓｋθ，−ｓｉｎｋθ］［ｘ］＝［ｒｃｏｓ（ｋθ＋φ）］

　　［Ｙ］　［ｓｉｎｋθ，　ｃｏｓｋθ］［ｙ］　［ｒｓｉｎ（ｋθ＋φ）］

　　ｆ（Ｘ，Ｙ）＝ｆ（ｘ，ｙ）

のとき，

　　Ｘ^2＋Ｙ^2＝ｘ^2＋ｙ^2＝ｒ^2

は不変量のひとつとなりますが，ｎに依存する不変量

　　ｒ^nｃｏｓｎφ，ｒ^nｓｉｎｎφ

もθの整数倍回転で不変です．

ｎ＝１のとき

　　ｒｃｏｓφ＝ｘ

　　ｒｓｉｎφ＝ｙ

ｎ＝２のとき

　　ｒ^2ｃｏｓ２φ＝ｒ^2（ｃｏｓ^2φ−ｓｉｎ^2φ）＝ｘ^2−ｙ^2

　　ｒ^2ｓｉｎ２φ＝２ｃｏｓφｓｉｎφ＝２ｘｙ

ｎ＝３のとき

　　ｒ^3ｃｏｓ３φ＝ｒ^3（ｃｏｓ２φｃｏｓφ−ｓｉｎ２φｓｉｎφ）＝（ｘ^2−ｙ^2）ｘ−（２ｘｙ）ｙ＝ｘ^3−３ｘｙ^2

　　ｒ^3ｓｉｎ３φ＝ｒ^3（ｓｉｎ２φｃｏｓφ＋ｃｏｓ２φｓｉｎφ）＝（２ｘｙ）ｘ＋（ｘ^2−ｙ^2）ｙ＝３ｘ^2ｙ−ｙ^3

ｎ＝４のとき

　　ｒ^4ｃｏｓ４φ＝ｒ^4（ｃｏｓ３φｃｏｓφ−ｓｉｎ３φｓｉｎφ）

　＝（ｘ^3−３ｘｙ^2）ｘ−（３ｘ^2ｙ−ｙ^3）ｙ＝ｘ^4−６ｘ^2ｙ^2＋ｙ^4　　ｒ^4ｓｉｎ４φ＝ｒ^4（ｓｉｎ３φｃｏｓφ＋ｃｏｓ３φｓｉｎφ）

＝（３ｘ^2ｙ−ｙ^3）ｘ＋（ｘ^3−３ｘｙ^2）ｙ＝４ｘ^3ｙ−４ｘｙ^3

　複素数を使うと証明は簡単になります．証明は略しますが，

　　（ｘ＋ｙｉ）^n＝ｒ^n（ｃｏｓφ＋ｉｓｉｎφ）^n＝ｒ^nｃｏｓｎφ＋ｉｒ^nｓｉｎｎφ

となって，ｒ^nｃｏｓｎφ，ｒ^nｓｉｎｎφはそれぞれ（ｘ＋ｙｉ）^nの実部と虚部であることはおわかり頂けるでしょう．

　ともあれ，群Ｃnで不変な多項式はすべてｒ^2，ｒ^nｃｏｓｎφ，ｒ^nｓｉｎｎφの多項式となるのです．

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【４】対称多項式の拡張（Ｄn）

　次に，群Ｄnに関して不変な多項式を考えます．群Ｄnは群Ｃnに裏返しを加えたもので，このとき，ｘ軸に関する裏返しという制約をつけても一般性は失われません．ｘ軸に関する裏返しでは，φ→−φより

　　ｒ^2→ｒ^2，

　　ｒ^nｃｏｓｎφ→ｒ^nｃｏｓｎφ，

　　ｒ^nｓｉｎｎφ→−ｒ^nｓｉｎｎφ

　したがって，ｒ^nｓｉｎｎφは偶数乗の形でしか現れませんから，

　　Ｆ（ｒ^2，ｒ^nｃｏｓｎφ，（ｒ^nｓｉｎｎφ）^2）

　＝Ｆ（ｒ^2，ｒ^nｃｏｓｎφ，（ｒ^2）^n−（ｒ^nｃｏｓｎφ）^2）

　＝Ｆ（ｒ^2，ｒ^nｃｏｓｎφ）

より，群Ｄnで不変な多項式はすべてｒ^2，ｒ^nｃｏｓｎφの多項式となるのです．

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【５】トロコイドへの応用

　アステロイドはＤ4，カージオイドはＤ1，ネフロイドはＤ2，デルトイドはＤ3の対称性を有する代数曲線ですから，ｒ^2＝ｘ^2＋ｙ^2，ｒ^nｃｏｓｎφの多項式になります．

　ｒ^nｃｏｓｎφはそれぞれ，

　　ｘ^4−６ｘ^2ｙ^2＋ｙ^4＝（ｘ^2＋ｙ^2）^2−１０ｘ^2ｙ^2

　　ｘ

　　ｘ^2−ｙ^2＝（ｘ^2＋ｙ^2）−２ｙ^2＝−（ｘ^2＋ｙ^2）＋２ｘ^2

　　ｘ^3−３ｘｙ^2＝ｘ（ｘ^2−３ｙ^2）

よりＦ（ｘ^2＋ｙ^2，ｘ^2ｙ^2），Ｆ（ｘ^2＋ｙ^2，ｘ），Ｆ（ｘ^2＋ｙ^2，ｘ^2），Ｆ（ｘ^2＋ｙ^2，ｘ（ｘ^2−３ｙ^2））で表されることがわかります．

　一般に，

　　ｘ＝ｒ1ｃｏｓω1ｔ＋ｒ2ｃｏｓω2ｔ

　　ｙ＝ｒ1ｓｉｎω1ｔ＋ｒ2ｓｉｎω2ｔ

は，ω2＝−ω1のとき楕円を描きますが，

　　ω1／ω2＝ｋ，ｒ2／ｒ1＝｜ｋ｜

という比をもつとき，ｋサイクロイドを描くことになります．

　ｋが無理数のときは代数的ではなく，半径がｒ1＋ｒ2，｜ｒ1−ｒ2｜の２つの円で囲まれた環状領域を埋めつくします．ｋが有理数のときは周期的となり，サイクロイドは代数曲線であることが証明されます．

（証）この曲線は半径ｒ1の円と半径ｒ2の円の回転運動の組み合わせになるわけですが，前者の周期は２π／ω1，後者の周期は２π／ω2となりますから，後者が１回転したとき，前者はまだω1／ω2回転しかしていません．周期的となるためには両者が同時に整数Ｎ回転しなければなりません．

　このとき，サイクロイドはＤNの対称性をもつことになりますが，関数ｒ^NｃｏｓＮφはｘ，ｙのＮ次の同次多項式となることが帰納法で簡単に証明できるので，サイクロイドが多項式（代数曲線）になることは明らかです．

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