ｘ＝ｒ1ｃｏｓω1ｔ＋ｒ2ｃｏｓω2ｔ

　　ｙ＝ｒ1ｓｉｎω1ｔ＋ｒ2ｓｉｎω2ｔ

は，ω2＝−ω1のとき楕円を描きますが，

　　ω1／ω2＝ｋ，ｒ2／ｒ1＝｜ｋ｜

という比をもつとき，ｋサイクロイドを描くことになります．

　ｋが無理数のときは代数的ではなく，半径がｒ1＋ｒ2，｜ｒ1−ｒ2｜の２つの円で囲まれた環状領域を埋めつくします．ｋが有理数のときは周期的となり，サイクロイドは代数曲線であることが証明されています．たとえば，アステロイドとネフロイドは６次曲線，カージオイドとデルトイドは４次曲線です．　

アステロイド：ｆ（ｘ，ｙ）＝（ｘ^2＋ｙ^2）^3−４８（ｘ^2＋ｙ^2）^2＋４３２ｘ^2ｙ^2＋７６８（ｘ^2＋ｙ^2）−４０９６＝０

ネフロイド：ｆ（ｘ，ｙ）＝（ｘ^2＋ｙ^2）^3−１２（ｘ^2＋ｙ^2）^2＋４８ｘ^2−６０ｙ^2−６４＝０

カージオイド：ｆ（ｘ，ｙ）＝（ｘ^2＋ｙ^2）^2−６（ｘ^2＋ｙ^2）＋８ｘ−３＝０

デルトイド：ｆ（ｘ，ｙ）＝（ｘ^2＋ｙ^2）^2＋１８（ｘ^2＋ｙ^2）−８ｘ（ｘ^2−３ｙ^2）−２７＝０

　ｍ，ｎが異なる有理数値をとる

　　ｘ＝（ｍ−１）ｒｃｏｓθ＋ｒｃｏｓ（ｍ−１）θ

　　ｙ＝（ｎ−１）ｒｓｉｎθ−ｒｓｉｎ（ｎ−１）θ

で定義される一般化したハイポサイクロイド曲線も次数の高い代数曲線となります．しかし，実際に代数曲線の方程式を求めることはかなり大変な計算となります．今回のコラムではトロコイド曲線の符号，周期，係数が次数に及ぼす影響を調べてみることにします．

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【１】トロコイド曲線の符号

　回転子が原点を中心とする円周上を公転角α（反時計回り）で動き，中心の周りを自転角β（反時計回り）で回転する場合，

　　ｘ0＝ａｃｏｓα，ｙ0＝ａｓｉｎα

　　［ｘ］＝［ｃｏｓβ，−ｓｉｎβ］［ｂ］＋［ｘ0］

　　［ｙ］　［ｓｉｎβ，　ｃｏｓβ］［０］＋［ｙ0］

より

　　ｘ＝ａｃｏｓα＋ｂｃｏｓβ

　　ｙ＝ａｓｉｎα＋ｂｓｉｎβ

が得られます．もし，回転子の位相がπずれているならば，β→β＋πですから

　　ｘ＝ａｃｏｓα＋ｂｃｏｓ（β＋π）＝ａｃｏｓα−ｂｃｏｓβ

　　ｙ＝ａｓｉｎα＋ｂｓｉｎ（β＋π）＝ａｓｉｎα−ｂｓｉｎβ

このことはｂ→−ｂとしても同じです．

　また，公転と自転の向きを逆方向にとる，すなわち，回転子が原点を中心とする円周上を公転角α（反時計回り）で動き，中心の周りを自転角β（時計回り）で回転する場合，

　　ｘ0＝ａｃｏｓα，ｙ0＝ａｓｉｎα

　　［ｘ］＝［ｃｏｓ（−β），−ｓｉｎ（−β）］［ｂ］＋［ｘ0］

　　［ｙ］　［ｓｉｎ（−β），　ｃｏｓ（−β）］［０］＋［ｙ0］

より

　　ｘ＝ａｃｏｓα＋ｂｃｏｓβ

　　ｙ＝ａｓｉｎα−ｂｓｉｎβ

もし，回転子の位相がπずれているならば，

　　ｘ＝ａｃｏｓα−ｂｃｏｓβ

　　ｙ＝ａｓｉｎα＋ｂｓｉｎβ

　これで，４つの組み合わせのトロコイド曲線

　　ｘ＝ａｃｏｓα±ｂｃｏｓβ

　　ｙ＝ａｓｉｎα±ｂｓｉｎβ

が得られましたが，ｂあるいはβが負になることを許せば，いずれも

　　ｘ＝ａｃｏｓα＋ｂｃｏｓβ

　　ｙ＝ａｓｉｎα＋ｂｓｉｎβ

と書くことができますから，代数曲線の次数に関して符号の組み合わせの違いは本質的ではありません．

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【２】トロコイド曲線の周期

　　ｘ＝ａｃｏｓα＋ｂｃｏｓβ

　　ｙ＝ａｓｉｎα＋ｂｓｉｎβ

において，β＝ｎαの場合を考えてみます．この曲線は半径ａの円と半径ｂの円の回転運動の組み合わせになるわけですが，前者の周期は２π，後者の周期は２π／ｎとなり，周期がトロコイド曲線の次数に対して最も本質的な影響を及ぼすことは直ちに理解できます．

　後者が１回転したとき，前者はまだ１／ｎ回転しかしていません．周期的となるためには両者が同時に整数回回転しなければなりません．ｎが整数ならば後者がｎ回転したとき前者は１回転するのですが，ｎが有理数の場合，たとえばｎ＝６．０３のときは後者がｒ回転したとき，前者はｒ／６．０３回転ですから，これが整数となるためにはｒ＝６０３回転必要になります．

　　ｘ＝ｍｃｏｓθ＋ｃｏｓｍθ

　　ｙ＝ｎｓｉｎθ−ｓｉｎｎθ

の場合はｒ／ｍとｒ／ｎが同時に整数にならなければなりません．ｍ＝ｎ＝６．０３ならばｒ＝６０３ですが，ｍ＝６．０１，ｎ＝６．０３ならば前者が１回転したとき後者は６．０１／６．０３回転ですから，６．０１ｒ／６．０３が整数となるｒを求まなければなりません．計算は省略しますが，かなり次数の高い代数曲線となることがわかります．

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【３】トロコイド曲線の係数

　ハイポサイクロイドではｍ＝ｎ−１，エピサイクロイドではｍ＝ｎ＋１とおくと，

　　ｘ＝ｍｃｏｓθ＋ｃｏｓｍθ

　　ｙ＝ｍｓｉｎθ＋ｓｉｎｍθ

と表されますが，ａ／ｂ比が整数とならないハイポ（エピ）トロコイド

　　ｘ＝ａｃｏｓα＋ｂｃｏｓβ・・・(1)

　　ｙ＝ａｓｉｎα＋ｂｓｉｎβ・・・(2)

の違いも本質的なものでないことがわかります．

　これまでの議論同様，(1)^2+(2)^2より

　　ｃｏｓ（α＋β）＝（ｘ^2＋ｙ^2−ａ^2−ｂ^2）／２ａｂ

と表されるからです．したがって，トロコイド曲線の代数曲線としての次数を決定するためにはハイポ（エピ）サイクロイドの場合を考えればよいことになります．

　係数の違いは周期の違いほど代数曲線としての次数に影響を与えるものではありませんが，まったく与えないかどうかについてはすぐには答えられません．たとえば，トロコイド曲線

　　ｘ＝ａｃｏｓθ＋ｃｃｏｓｎθ

　　ｙ＝ａｓｉｎθ＋ｃｓｉｎｎθ

とｂ≠ａ，すなわち，楕円上に中心をおき，円周上を回転する点の軌跡

　　ｘ＝ａｃｏｓθ＋ｃｃｏｓｎθ

　　ｙ＝ｂｓｉｎθ＋ｃｓｉｎｎθ

のような係数の違いが次数に影響を及ぼすかどうかについては宿題としておきたいと思います．

［問］楕円上に中心をおく円周上を回転する点の軌跡

　　ｘ＝２ｃｏｓθ＋ｃｃｏｓ３θ

　　ｙ＝　ｓｉｎθ＋ｃｓｉｎ３θ

の代数曲線としての次数？

［問］楕円上に中心をおく単振動する点の軌跡

　　ｘ＝２ｃｏｓθ

　　ｙ＝　ｓｉｎθ＋ｃｓｉｎ３θ

の代数曲線としての次数？

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