エピサイクロイド

　　ｘ＝（ｎ＋１）ｃｏｓθ−ｃｏｓ（ｎ＋１）θ

　　ｙ＝（ｎ＋１）ｓｉｎθ−ｓｉｎ（ｎ＋１）θ

ハイポサイクロド

　　ｘ＝（ｎ−１）ｃｏｓθ＋ｃｏｓ（ｎ−１）θ

　　ｙ＝（ｎ−１）ｓｉｎθ−ｓｉｎ（ｎ−１）θ

において

　　ｃｏｓθ＝（１−ｔ^2）／（１＋ｔ^2）

　　ｓｉｎθ＝２ｔ／（１＋ｔ^2）

と表せばいずれも有理曲線であることは直ちにわかりますが，いま問題としていることはエピサイクロイド，ハイポサイクロドの代数曲線としての次数です．

　ド・モアブルの定理

　　（ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ）^n＝ｃｏｓｎθ＋ｉｓｉｎｎθ

の左辺を２項展開して，両辺の実部，虚部を比較することによって

　　ｃｏｓｎθ＝ｃｏｓ^nθ−nＣ2ｃｏｓ^(n-2)θｓｉｎ^2θ＋・・・

　　ｓｉｎｎθ＝nＣ1ｃｏｓ^(n-1)θｓｉｎθ−nＣ3ｃｏｓ^(n-3)θｓｉｎ^3θ＋・・・

が得られますから，ハイポサイクロイドはｃｏｓθに関するｎ−１次式，エピサイクロイドはｎ＋１次式となります．

　（その１）では，　

　　　　　　　エピサイクロイド　　　ハイポサイクロド

　　ｎ＝１　　　　４次曲線

　　ｎ＝２　　　　６次曲線　　　　　　　１次（２次？）

　　ｎ＝３　　　（８次曲線？）　　　　　４次曲線

　　ｎ＝４　　　（10次曲線？）　　　　　６次曲線

となることを示しました．

　ハイポサイクロイドのｎ＝２の場合は１次直線ですが，半径が無限大となって全体が一面に拡がってしまった円弧（２次曲線）と解釈することができますから，

　　　　　　　エピサイクロイド　　　ハイポサイクロド

　　ｎ　　　　　２（ｎ＋１）次　　　　２（ｎ−１）次

となることが予測されます．

　しかし，ｃｏｓθに関するｎ−１次方程式（ｎ＋１次方程式）を解く方法は，ここまではうまくいったのですが，ｎが大きくなると難しくなります．そのため，ハイポサイクロイド（エピサイクロイド）の一般的な代数曲線表示には別の方法を用いる必要がでてくると思われます．

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【１】一般的な代数曲線表示

　ハイポサイクロイド

　　ｘ＝（ｎ−１）ｃｏｓθ＋ｃｏｓ（ｎ−１）θ・・・(1)

　　ｙ＝（ｎ−１）ｓｉｎθ−ｓｉｎ（ｎ−１）θ・・・(2)

において，(1)^2+(2)^2より

　　ｃｏｓｎθ＝｛ｘ^2＋ｙ^2−（ｎ−１）^2−１｝／２（ｎ−１）

　これでｃｏｓｎθ，ｓｉｎ^2ｎθが求まったことになりますが，(1)，(2)を以下のように書き換えます．

　　ｘ＝（ｎ−１）ｃｏｓθ＋ｃｏｓｎθｃｏｓθ＋ｓｉｎｎθｓｉｎθ・・・(3)

　　ｙ＝（ｎ−１）ｓｉｎθ−ｓｉｎｎθｃｏｓθ＋ｃｏｓｎθｓｉｎθ・・・(4)

　(3)より

　　ｘ−（ｎ−１＋ｃｏｓｎθ）ｃｏｓθ＝ｓｉｎｎθｓｉｎθ

両辺を２乗して整理するとｃｏｓθに関する２次方程式

　　｛（ｎ−１＋ｃｏｓｎθ）^2＋１−ｃｏｓ^2ｎθ｝ｃｏｓ^2θ−２（ｎ−１＋ｃｏｓｎθ）ｘｃｏｓθ＋ｘ^2−１＋ｃｏｓ^2ｎθ＝０

が得られます．したがって，ｃｏｓθを求めるには，ｎの値に関係なく２次方程式を解けばよいことになります．

　　ｃｏｓθ＝α＋β^1/2

α＝（ｎ−１＋ｃｏｓｎθ）ｘ／｛（ｎ−１＋ｃｏｓｎθ）^2＋１−ｃｏｓ^2ｎθ｝

ここで，

　　（ｎ−１＋ｃｏｓｎθ）^2＋１−ｃｏｓ^2ｎθ＝ｘ^2＋ｙ^2

ですから，

α＝（ｎ−１＋ｃｏｓｎθ）ｘ／（ｘ^2＋ｙ^2）

β＝｛（ｎ−１＋ｃｏｓｎθ）^2ｘ^2−｛（ｎ−１＋ｃｏｓｎθ）^2＋１−ｃｏｓ^2ｎθ｝（ｘ^2−１＋ｃｏｓ^2ｎθ）｝／（ｘ^2＋ｙ^2）^2

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　これを解いてｃｏｓｎθ，ｓｉｎ^2ｎθ，ｃｏｓθ，ｓｉｎ^2θを(4)に代入すれば代数曲線表示が完成しそうな気がしますが，ｃｏｓθに現れる根号がじゃまになって簡単にはいきません．そこで，(1)のｃｏｓθの次数をｎ−１次式から１次式まで下げることにします．

　黄金比φを公比とする等比数列

　　１，φ，φ^2 ，φ^3，φ^4 ，φ^5 ，・・・

を考えると、１＋φ＝φ^2ですから

　　φ^2＝φ＋１

　　φ^3＝φ^2φ＝φ^2＋φ＝２φ＋１

　　φ^4＝φ^3φ＝２φ^2＋φ＝３φ＋２

　　φ^5＝φ^4φ＝３φ^2＋２φ＝５φ＋３

とするのと同じ要領で次数を低下させます．なお，黄金比φには多く性質があり、ここで、ガウス記号［ｘ］（ｘを超えない最大の整数）を用いると、数列｛［φ^n-1］｝の各次数に対応して得られる整数列は

　　１，１，２，３，５，８，１３，・・・

すなわち、フィボナッチ数列｛Ｆn｝となります。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　　Ａ＝２（ｎ−１＋ｃｏｓｎθ）ｘ／（ｘ^2＋ｙ^2）

　　Ｂ＝−（ｘ^2−１＋ｃｏｓ^2ｎθ）／（ｘ^2＋ｙ^2）

とおくと

　　ｃｏｓ^2θ＝Ａｃｏｓθ＋Ｂ

　　ｃｏｓ^3θ＝ｃｏｓ^2θｃｏｓθ＝Ａｃｏｓ^2θ＋Ｂｃｏｓθ

　　　　　　　＝（Ａ^2＋Ｂ）ｃｏｓθ＋ＡＢ

　　ｃｏｓ^4θ＝ｃｏｓ^3θｃｏｓθ＝（Ａ^2＋Ｂ）ｃｏｓ^2θ＋ＡＢｃｏｓθ

　　　　　　　＝（（Ａ^2＋Ｂ）Ａ＋ＡＢ）ｃｏｓθ＋（Ａ^2＋Ｂ）Ｂ

　　ｃｏｓ^5θ＝ｃｏｓ^4θｃｏｓθ＝（（Ａ^2＋Ｂ）Ａ＋ＡＢ）ｃｏｓ^2θ＋（Ａ^2＋Ｂ）Ｂｃｏｓθ

　　　　　　　＝（（（Ａ^2＋Ｂ）Ａ＋ＡＢ）Ａ＋（Ａ^2＋Ｂ）Ｂ）＋ｃｏｓθ＋（（Ａ^2＋Ｂ）Ａ＋ＡＢ）Ｂ

　また，

　　ｃｏｓｎθ＝（ｃｏｓθのチェビシェフ多項式）＝Ｔn，

　　ｓｉｎｎθ＝ｓｉｎθ×（ｃｏｓθの多項式）＝ｓｉｎθ×Ｇn

と表すことにすると

　　ｘ＝（ｎ−１）Ｔ1＋Ｔn-1＝Ｃｃｏｓθ＋Ｄ＝Ｃ（α＋β^1/2）＋Ｄ

　　（ｘ−Ｃα−Ｄ）^2＝Ｃ^2β

となって，代数曲線表示が完成します．

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　一方，エピサイクロイド

　　ｘ＝（ｎ＋１）ｃｏｓθ−ｃｏｓ（ｎ＋１）θ・・・(1)

　　ｙ＝（ｎ＋１）ｓｉｎθ−ｓｉｎ（ｎ＋１）θ・・・(2)

の場合は，(1)^2+(2)^2より

　　ｃｏｓｎθ＝｛ｘ^2＋ｙ^2−（ｎ＋１）^2−１｝／２（ｎ＋１）

　　ｘ＝（ｎ＋１）ｃｏｓθ−ｃｏｓｎθｃｏｓθ＋ｓｉｎｎθｓｉｎθ・・・(3)

　　ｙ＝（ｎ＋１）ｓｉｎθ−ｓｉｎｎθｃｏｓθ−ｃｏｓｎθｓｉｎθ・・・(4)

　　ｘ−（ｎ＋１−ｃｏｓｎθ）ｃｏｓθ＝ｓｉｎｎθｓｉｎθ

　　｛（ｎ＋１−ｃｏｓｎθ）^2＋１−ｃｏｓ^2ｎθ｝ｃｏｓ^2θ−２（ｎ＋１−ｃｏｓｎθ）ｘｃｏｓθ＋ｘ^2−１＋ｃｏｓ^2ｎθ＝０

α＝（ｎ＋１−ｃｏｓｎθ）ｘ／（ｘ^2＋ｙ^2）

β＝｛（ｎ＋１−ｃｏｓｎθ）^2ｘ^2−｛（ｎ＋１−ｃｏｓｎθ）^2＋１−ｃｏｓ^2ｎθ｝（ｘ^2−１＋ｃｏｓ^2ｎθ）｝／（ｘ^2＋ｙ^2）^2

Ａ＝２（ｎ＋１−ｃｏｓｎθ）ｘ／（ｘ^2＋ｙ^2）

Ｂ＝−（ｘ^2−１＋ｃｏｓ^2ｎθ）／（ｘ^2＋ｙ^2）

となるだけで，あとの計算手順は同じです．

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【２】計算例

　たとえば，エピサイクロイド（ｎ＝３）が８次曲線になるかどうか調べてみることにしましょう．

　　ｘ＝４ｃｏｓθ−ｃｏｓ４θ

　　　＝８ｃｏｓ^4θ−８ｃｏｓ^2θ＋４ｃｏｓθ＋１

Ｔnの最高次の項の係数は２^n-1ですから，この場合は８となります．

　　ｘ＝８（（Ａ^2＋Ｂ）Ａ＋ＡＢ）ｃｏｓθ＋８（Ａ^2＋Ｂ）Ｂ

　　　　−８Ａｃｏｓθ−８Ｂ＋４ｃｏｓθ＋１

　　Ｃ＝８（（Ａ^2＋Ｂ）Ａ＋ＡＢ）−８Ａ＋４

　　Ｄ＝８（Ａ^2＋Ｂ）Ｂ−８Ｂ＋１

　　（ｘ−Ｃα−Ｄ）^2＝Ｃ^2β

　これ以降の計算は次回報告することにして，今回はそのアルゴリズムを示すにとどめます．もっと簡単なアルゴリズムがあるに違いないと思われるからです．

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