［１］ハイポサイクロイド

　ｎ個の尖点をもつハイポサイクロイド

　　ｘ＝（ｎ−１）ｒｃｏｓθ＋ｒｃｏｓ（ｎ−１）θ・・・(1)

　　ｙ＝（ｎ−１）ｒｓｉｎθ−ｒｓｉｎ（ｎ−１）θ・・・(2)

において，ｘはｃｏｓθのｎ−１次式で表されます．

　ｎ＝２のとき，

　　ｆ（ｘ，ｙ）＝ｙ　　　−２≦ｘ≦２

すなわち，固定円の直径と一致します（コペルニクスの定理）．直径は２つの尖点をもっていて，その両端は退化した２つの尖点とみなすことができます．

　また，ｎ＝３，ｒ＝１とすると，デルトイドの媒介変数表示

　　ｘ＝２ｃｏｓθ＋ｃｏｓ２θ・・・(1)

　　ｙ＝２ｓｉｎθ−ｓｉｎ２θ・・・(2)

で与えられますが，ｃｏｓ２θ＝２ｃｏｓ^2θ−１ですから

　　ｘ＝２ｃｏｓ^2θ＋２ｃｏｓθ−１

これを解いて

　　ｃｏｓθ＝｛−１＋（２ｘ＋３）^1/2｝／２

　また，(1)^2+(2)^2より

　　ｘ^2＋ｙ^2＝５＋４ｃｏｓ３θ

　→（ｘ^2＋ｙ^2−５）／４＝４ｃｏｓ^3θ−３ｃｏｓθ

よりｃｏｓθを消去すると，直交座標系におけるデルトイドの方程式は

　　ｆ（ｘ，ｙ）＝（ｘ^2＋１２ｘ＋９＋ｙ^2）^2−４（２ｘ＋３）^3

＝（ｘ^2＋ｙ^2）^2＋１８（ｘ^2＋ｙ^2）−８ｘ（ｘ^2−３ｙ^2）−２７＝０

と表されます．すなわち，４次曲線というわけです．

　また，星形曲線アステロイドは固定円の半径が回転円の半径の４倍になっているハイポサイクロイドです．ｎ＝４，ｒ＝１とすると，アステロイドでは

　　ｘ＝３ｃｏｓθ＋ｃｏｓ３θ・・・(1)

　　ｙ＝３ｓｉｎθ−ｓｉｎ３θ・・・(2)

ですが，３倍角の公式

　　ｃｏｓ３θ＝４ｃｏｓ^3θ−３ｃｏｓθ

　　ｓｉｎ３θ＝３ｓｉｎθ−４ｓｉｎ^3θ

を用いると

　　ｘ＝４ｃｏｓ^3θ

　　ｙ＝４ｓｉｎ^3θ

より

　　ｘ^2/3＋ｙ^2/3＝４^2/3

を得ることができます．

　これは簡単な形ですが，整数ベキに直すために両辺を３乗

　　３ｘ^2/3ｙ^2/3（ｘ^2/3＋ｙ^2/3）＝４^2−ｘ^2−ｙ^2

　　３（４ｘｙ）^2/3＝４^2−ｘ^2−ｙ^2

さらに３乗すると，アステロイドは６次曲線：

　　ｆ（ｘ，ｙ）＝（ｘ^2＋ｙ^2）^3−４８（ｘ^2＋ｙ^2）^2＋４３２ｘ^2ｙ^2＋７６８（ｘ^2＋ｙ^2）−４０９６＝０

と表すことができることがわかります．

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［２］エピサイクロイド

　一方，エピサイクロイドは地球から見たときの惑星の逆行運動の説明に用いられた曲線で，古代ギリシア人は，惑星の動きを表現するために周転円（円の周りをまわる円）を考えていたことが知られています．エピサイクロイドは

　　ｘ＝（ｎ＋１）ｒｃｏｓθ−ｒｃｏｓ（ｎ＋１）θ

　　ｙ＝（ｎ＋１）ｒｓｉｎθ−ｒｓｉｎ（ｎ＋１）θ

で与えられます．

　固定円と回転円の半径が等しい場合，エピサイクロイドは心臓型曲線（カーディオイド）を描きます．カーディオイドは，ｎ＝１として

　　ｘ＝２ｃｏｓθ−ｃｏｓ２θ・・・(1)

　　ｙ＝２ｓｉｎθ−ｓｉｎ２θ・・・(2)

で与えられますが，ｃｏｓ２θ＝２ｃｏｓ^2θ−１ですから

　　ｘ＝２ｃｏｓ^2θ−２ｃｏｓθ−１

これを解いて

　　ｃｏｓθ＝｛−１＋（３−２ｘ）^1/2｝／２

　また，(1)^2+(2)^2より

　　ｘ^2＋ｙ^2−５＝−４ｃｏｓθ

よりｃｏｓθを消去すると，直交座標系におけるカーディオイドの方程式は

　　ｆ（ｘ，ｙ）＝（ｘ^2＋ｙ^2−３）^2−４（３−２ｘ）^3

＝（ｘ^2＋ｙ^2）^2−６（ｘ^2＋ｙ^2）＋８ｘ−３＝０

と表されます．すなわち，４次曲線というわけです．

　ネフロイド（ｎ＝２）の場合は，

　　ｘ＝３ｃｏｓθ−ｃｏｓ３θ＝６ｃｏｓθ＋４ｃｏｓ^3θ・・・(1)

　　ｙ＝３ｓｉｎθ−ｓｉｎ３θ＝４ｓｉｎ^3θ・・・(2)

です．(2)よりｓｉｎ^2θ＝（ｙ／４）^2/3を(1)に代入してもよいのですが，ここでは(1)^2+(2)^2より

　　（ｘ^2＋ｙ^2−１０）／６＝−ｃｏｓ２θ＝２ｓｉｎ^2θ−１

に代入すると，６次曲線：

　　ｆ（ｘ，ｙ）＝（ｘ^2＋ｙ^2）^3−１２（ｘ^2＋ｙ^2）^2＋４８ｘ^2−６０ｙ^2−６４＝０

になることがわかります．

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