［ａ］２次曲線のパラメータ表示例

　原点を中心とする半径１の円の円周上の点を（ｘ，ｙ）とすれば，第３の変数θを媒介として，ｘ＝ｃｏｓθ，ｙ＝ｓｉｎθと表されます．θは（ｘ，ｙ）と（０，０），θ／２は（ｘ，ｙ）と（−１，０）を結ぶ直線とｘ軸とのなす角を表しています．さらにｔ＝ｔａｎ（θ／２）とするとｔａｎ（θ／２）＝ｓｉｎθ／（１＋ｃｏｓθ），ｃｏｓθ＝（１−ｔ^2）／（１＋ｔ^2），ｓｉｎθ＝２ｔ／（１＋ｔ^2）より，

　　ｘ＝±（１−ｔ^2）／（１＋ｔ^2），

　　ｙ＝（２ｔ）／（１＋ｔ^2）　　　（−１≦ｔ≦１）

と表すことができます．

　単位円上のすべての有理点（座標ｘ，ｙが有理数であるような点）は，ｘ＝±（１−ｔ^2）／（１＋ｔ^2），ｙ＝（２ｔ）／（１＋ｔ^2）とｘ＝−１，ｙ＝０です．このように，円の有理点全体は１つの変数ｔによって一意化できますが，円ばかりではなく，現在では２次曲線に１つでも有理点があると実は無限に有理点があることがわかっています．２次曲線は有理点を無限のもつか，１つももたないかのどちらかです．実際，ｔ＝ｍ／ｎを代入して展開すると，

　　ｘ＝±（ｍ^2−ｎ^2）／（ｍ^2＋ｎ^2），ｙ＝２ｍｎ／（ｍ^2＋ｎ^2）

となります．したがって，ピタゴラス数（ａ^2＋ｂ^2＝ｃ^2：ａ，ｂ，ｃは整数）の組み合わせは，ａ＝ｍ^2−ｎ^2，ｂ＝２ｍｎ，ｃ＝ｍ^2＋ｎ^2によって，すべて導き出せることがおわかり頂けることでしょう．

　なお，三角関数の有理関数の積分はｔ＝ｔａｎ（θ／２）とおくと有理関数の積分に帰着できることはほとんどの教科書に書かれていますが，うまくｔａｎθ，ｃｏｓ^2θ，ｓｉｎ^2θだけの関数に書き表すことができる場合には，ｔａｎθ＝ｔとおくことによって三角関数の有理関数の積分計算は格段と簡単になります．この場合，ｃｏｓ^2θ＝１／（１＋ｔ^2），ｓｉｎ^2θ＝ｔ^2／（１＋ｔ^2）となりますから，ｔａｎ（θ／２）＝ｔとおいた場合に比べ，次数が約半分の有理関数になります．

［ｂ］３次曲線のパラメータ表示例

　デカルトの正葉線ｘ^3−３ａｘｙ＋ｙ^3＝０（ａ＞０）では，ｙ／ｘ＝ｔ，すなわちｙ＝ｔｘとおくことによってパラメータ表示の形に書くことができます．

　　ｘ＝３ａｔ／（１＋ｔ^3），ｙ＝３ａｔ^2／（１＋ｔ^3）

この３次曲線は重根をもち，原点（０，０）が特異点になります．

　同様に，特異点をもつｙ^2＝ｘ^3やｙ^2＝ｘ^2（ｘ＋１）は楕円曲線ではありません．前者は（ｔ^3，ｔ^2），後者は（ｔ^2−１，ｔ（ｔ^2−１））とパラメトライズできます．

［ｃ］４次曲線のパラメータ表示例

　レムニスケートは

　　ｘ＝ｔ（ｔ^2＋１）／（１＋ｔ^4）

　　ｙ＝−ｔ（ｔ^2−１）／（１＋ｔ^4）

のようにパラメトライズすることができます．

　以上の例のごとく，直線や２次曲線（円錐曲線）はその上の点をパラメータｔの式として表せるのに対して，例えば，３次曲線ｘ^3−３ａｘｙ＋ｙ^3＝ｃ（ｃ≠０），特異点をもたない楕円曲線ｙ^2＝ｘ^3＋ａｘ＋ｂ（４ａ^3＋２７ｂ^2≠０），フェルマー曲線ｘ^n＋ｙ^n＝１（ｎ＞２）はもはや初等的な関数ではパラメトライズされず，ｆがｘ，ｙの任意の関数である場合，陽関数表示も媒介変数表示もできるとは限りません．したがって，陰関数の描画ルーチンが必要になります．

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